L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Somme des cubes
dans Arithmétique
Bonjour
Comment démontrer la formule $\ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}4\ $ à l'aide d'une table de Pythagore à $n^2$ cases ?
A+
Comment démontrer la formule $\ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}4\ $ à l'aide d'une table de Pythagore à $n^2$ cases ?
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Réponses
On a $\displaystyle\Big(\sum_{k=1}^n k\Big)^2 = \sum_{1\leq i,j\leq n} ij = \sum_{i=1}^n \Big(\sum_{j=1}^{i} ij + \sum_{j=1}^{i-1} ij\Big) =\sum_{i=1}^n \Big(\frac{i^2(i+1)}{2}+\frac{(i-1)i^2}{2}\Big)=\sum_{i=1}^n i^3 $.
C'est rusé...
Le L à l'envers du rang $k$ reflète l'identité $k^3 = 2k(1+2+...+k) - k^2$.
Y a-t-il un procédé analogue pour la somme des carrés ?
A+