Fermat$_3 : x^3 + y^3 = z^3$
dans Arithmétique
Bonjour
Dans le document joint, l'auteur cherche à montrer qu'il n'existe pas de solutions non triviales à l'équation diophantienne $x^3 + y^3 = z^3$. En supposant $z$ pair, et $x, y$ impairs, $x, y, z$ deux à deux premiers entre eux, et en posant $x = u + v$ et $y = u - v$, on en arrive à $2u(u^2 + 3v^2) = z^3$.
Et là, l'auteur affirme que $u$ et $v$ sont premiers entre eux (pas de souci), que $u$ et $v$ sont de parités différentes (d'accord pour moi) et que $2u$ et $u^2 + 3v^2$ sont premiers entre eux. Là, je bloque : qu'est-ce qui empêcherait $u$ d'être divisible par 3 ?
Merci d'avance,
Bonne journée
Dans le document joint, l'auteur cherche à montrer qu'il n'existe pas de solutions non triviales à l'équation diophantienne $x^3 + y^3 = z^3$. En supposant $z$ pair, et $x, y$ impairs, $x, y, z$ deux à deux premiers entre eux, et en posant $x = u + v$ et $y = u - v$, on en arrive à $2u(u^2 + 3v^2) = z^3$.
Et là, l'auteur affirme que $u$ et $v$ sont premiers entre eux (pas de souci), que $u$ et $v$ sont de parités différentes (d'accord pour moi) et que $2u$ et $u^2 + 3v^2$ sont premiers entre eux. Là, je bloque : qu'est-ce qui empêcherait $u$ d'être divisible par 3 ?
Merci d'avance,
Bonne journée
Réponses
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Bonjour,
Si $u $ est pair, alors $v$ est impair et donc $u^2+3 v^2$ est impair qui est donc premier avec $2 u$ qui est pair.
Si $u$ est impair, alors $v$ est pair et donc $u^2+3 v^2$ est impair qui est donc premier avec $2 u$ qui est pair. -
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Cependant, je ne suis pas sûr de vous suivre ... Deux entiers n'ayant pas même parité peuvent très bien ne pas être premiers entre eux.
Ici mon problème est que si $u$ est un multiple de 3, alors $u^2 + 3v^2$ et $2u$ sont tous deux divisibles par 3, donc ne sont pas premiers entre eux. -
Il me faudra plus de temps pour m'en assurer, mais si 3 divise $u$, on écrit $u = 3w$, et alors on obtient $z^3 = 6w(9w^2 + 3v^2) = 18w(3w^2 + v^2)$.
De plus, on vérifie que $18w$ et $3w^2 + v^2$ sont premiers entre eux, donc on devrait pouvoir utiliser ce qui suit dans le document. -
Bonjour,
Tu as raison. J’ai confondu premiers entre eux et divisibilité.
Ton contre exemple est valide. Si $3$ divise $u$ alors $2 u$ et $u^2+3 v^2$ ne sont pas premiers entre eux puisque $3$ les divise. -
Bonjours, vous avez raison d'être bloqué car pour démontrer ce théorème il faut justement discuter suivant deux cas: 1) u est divisible par 3; 2) u n'est pas divisible par 3.
-
Merci pour la confirmation !
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Bonjour!
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