Équation $x^3+y^3=z^4$

Boécien · October 2021

À l'équation $x^3+y^3=z^4$, on trouve comme solutions paramétrées triviales $x=k^3+1$ et $y=k(k^3+1)$ car alors $x^3+y^3=(k^3+1)^4$.
J'aimerais savoir s'il existe des solutions $(x,y,z)$, où $x$ et $y$ sont premiers entre eux ?
Je pense que non est-ce que la preuve est à ma portée si vous me donnez une piste.
Merci d'avance.

Chaurien · October 2021

Les équations diophantiennes sont en nombre presque infini ;-), et chacun peut en bricoler ad libitum. D'accord pour $x^3+y^3=z^4$, et on peut se poser tous les $x^m+y^n=z^p$ pour les $m,n,p$ pas trop grands. Dans la littérature, je trouve $x^3+y^3=z^2$, mais non $x^3+y^3=z^4$. Peut-être Boécien peut-il nous dire s'il l'a inventée ou bien nous donner une référence. La solution paramétrique qu'il donne ne me semble pas « triviale », mais ingénieuse.
Pour l'instant je n'ai pas de réponse à sa question, mais j'ai la même impression que lui.
Bon dimanche.
Fr. Ch.

Boécien · October 2021

Merci Chaurien. J'ai considéré naturellement cette équation en lisant la preuve de la descente infinie de Fermat pour $x^4+y^4=z^4$ en me posant la question de décaler le degré à gauche. La solution "triviale" me semble évidente. Mais je n'ai pas une grande culture encore sur ce sujet qui semble effectivement bien vaste. J'en reste à des interrogations au fil de mes explorations.

PierreB · October 2021

Bonjour,

c'est effectivement le cas (pas de solution en entiers premiers entre eux et $xyz \neq 0$).
C'est un cas particulier de la conjecture de Beal, Granville et Tijdeman-Zagier. Je ne sais pas s'il existe une approche plus simple que :
https://projecteuclid.org/journals/experimental-mathematics/volume-7/issue-1/Sur-léquation-asp-3bsp-3csp-p/em/1047674269.full
ou
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.24.79&rep=rep1&type=pdf

Pierre.

Boécien · October 2021

Merci PierreB pour ces liens. L'article de Nils Bruin dit effectivement (Theorem 1) qu'il n'y a pas de solution à $x^3+y^3=z^4$ avec $gcd(x,y,z)=1$. La preuve n'était cependant pas à ma portée! Mais je vais essayer de la comprendre.