Propriété méconnue des nombres premiers

Bonjour,

Un nombre premier plus grand que $3$ doit être égal, modulo $4$, à $1$ ou à $3$ puisque les autres possibilités $0$ et $2$ sont exclues car multiples de $2.$

Cas $p=4 k+1$ :
$p^2-1=(p-1)(p+1)=4 k (4 k+2)=8 k(2k+1)$
Si $k=3 u$, on a la divisibilité par $24,$
Si $k=3 u+1$, et donc $2k+1=3(2u+1)$…
Le cas $k=3u+2$ est exclus. En effet, $p=4(3 u+2)+1=12 u+9=3(4 u+3)$ n’est pas premier.

Cas $p=4 k+3$ :
$p^2-1=(4k+3)^2-1=(4k+2)(4 k+4)=8 (k+1) (2 k+1).$
Si $k=3 u$, $p=4(3 u)+3=3(4 u+1)$ n’est pas premier.
Si $k=3 u+1$, $2 k+1=3(2 u+1)$ est divisible par $3$.
Si $k=3 u+2$, $k+1=3(u+1)$ est divisible par $3.$

Comme on a traité tous les cas, on conclut pour tous les premiers strictement plus grand que $3.$