Méthode de Bézout

Amadou
Amadou
dans Arithmétique
Le but de mon problème est de mettre un paramètre qui me permettra de déterminer le nombre de jours demandés avec la méthode de Bézout.

Un escargot est au fond d'un puit de $10$ mètres. Chaque matin il monte de $3$ mètres et chaque nuit il descend de $2$ mètres. Combien de jours lui faudra-t-il pour sortir de ce puit.

Soit $x$ le nombre de matin et $y$ le celui de la nuit.
On a : $3x-3y=10$. Le couple $(10,10)$ est une solution particulière de l'équation. Après calcul du système je trouve $x=2t+10$ et $y=3t+10$ avec $t\in\,]{-}4, {+}\infty[\,\cap\,\mathbb{Z}$ car $x$ et $y$ sont strictement supérieur à $0$.
Pour $t=-1$ ça répond aux exigences de l'énoncé (car je l'ai résolu avec une autre méthode). J'aimerais qu'on m'aide à mettre un paramètre qui me permettra d'unifier la solution.

Merci à l'avance pour votre réponse !!!

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Ce n'est pas un exo d'arithmétique, c'est une énigme.
    Petit indice :
    quand l'escargot se réveille et qu'il est à 3m du sommet, que se passe-t-il ensuite ?
  • Amadou
    Amadou
    @JLapin

    Je suis d'accord sur ce point que c'est une énigme. Mais est-ce qu'il n'est pas possible de faire la résolution avec la méthode de Bezout, même si l'exercice n'est pas de l'arithmétique comme je l'ai fait dans ce cas. En prenant pour $t=-1$ on a bien la réponse demande.

    Pour ta question du petit indice, il n'y a plus de descente dans ce cas, c'est à dire il se retrouvera hors du puit.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il y a une erreur dans l'équation qui est indiquée mais j'imagine que c'est une erreur d'inattention car les solutions correspondent bien à l'équation $3x-2y=10$

    $2t+10>0$ est équivalent à $t>-5$ et $3t+10>0$ équivalent à $t>-\dfrac{10}{3}$. Si on impose à $t$ d'être entier alors on doit avoir $t\geq -3$ pour que les deux quantités $2t+10$ et $3t+10$ soient positives.

    Il y a un jour une mâtinée et une nuit dans une journée donc si on cherche une solution avec un nombre entier de jours il faut que $x=y$ et donc on a l'équation $3x-2x=10$ c'est à dire $x=y=10$ c'est à dire $t=0$.

    Autrement il y a une mâtinée de plus que de nuits, $x=y+1$ et on a l'équation $3(y+1)-2y=10$ et donc $y=7$ c'est à dire que $t=-1$ et $x=8$.
    Comme $-1$ est plus petit que $0$ on en déduit que c'est la bonne solution $t=-1$.
  • Amadou
    Amadou
    @Fin de partie
    Voilà donc on peut mettre un paramètre pour unifier la solution. Je viens de lire ton raisonnement et je trouve précis et intelligible. Mille merci à toi.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il y a juste une petite erreur de raisonnement dans ce que j'ai écrit plus haut.

    Je suppose implicitement que l'escargot se met en route au matin. Si on suppose qu'il se met en route le soir, il manque dans mon raisonnement le cas où il y a une nuit de plus que de mâtinées mais on trouve tout de même que $t=-1$.
  • Amadou
    Amadou
    @Fin de partie
    J'avais fait cette remarque quand tu as parlé ce matin de $x>y$. Je me suis dit que c'est une supposition donc il y aurait pour la soirée aussi c'est-à-dire $y>x$.
    Merci beaucoup pour l'aide dans tous les cas on trouve $t=-1$.
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