Traduction de "converse theorem" en français

Théorème réciproque ?

Tu prends deux suites de complexes $(a_n)$, $(b_n)$, avec $a_n, b_n \ll n^\varepsilon$, tu leur associes les deux fonctions holomorphes $f,g$ sur $\mathbb{H}$ par
$$f(z) = \sum_{n \geqslant 1} a_n e(nz) \quad \textrm{et} \quad g(z) = \sum_{n \geqslant 1} b_n e(nz)$$
auxquelles tu attaches leurs séries de Dirichlet $L(s,f)$ et $L(s,g)$, et on note $\Lambda(s,f)$ et $\Lambda(s,g)$ leurs séries de Dirichlet complétées.

En 1936, Hecke montra l'équivalence des deux assertions suivantes : pour $k \in \mathbb{Z}$

$\triangleright$ $f,g$ sont deux formes paraboliques de poids $k$ sur $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ et $(f \mid_k T)(z) = g(z)$ ;

$\triangleright$ $\Lambda(s,f)$ et $\Lambda(s,g)$ se prolongent analytiquement à tout le plan complexe, sont bornées dans toute bande verticale et vérifient l'équation fonctionnelle $\Lambda(s,f) = i^k \Lambda(k-s,g)$.

D'un point de vue arithmétique, il est plus intéressant de disposer d'un tel résultat sur le sous-groupe de congruence de Hecke $\Gamma_0(N)$, plutôt que sur $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$. Malheureusement, l'équivalence est plus compliquée à démontrer dans ce cas-là, en particulier le sens $\Longleftarrow$. En 1967, Weil a réussi ce tour de force en supposant des informations supplémentaires, i.e. une équation fonctionnelle provenant de fonctions $L$ twistées. C'est ce que l'on appelle le "converse theorem" de Weil, et tout résultat de ce type prend aussi le nom de "converse theorem".

Ai-je été assez clair ?

Classiquement, $T = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ est l'homographie $z \mapsto z+1$.