Un côté entier

Même solution..
En cours de route, j'arrive à : il existe un entier n tel que n(n+1)=2k(k+1).
Après quoi je trouve en "bourrinant". Comment procéder sans bourriner ?
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D'accord avec Jandri (et avec retard). Si $AC=x$, alors avec les tangentes on trouve : $(2x-2k-1)^2-2(2k+1)^2=-1$ (je ne passe pas par les nombres triangulaires). C'est bien une équation de [large]Fermat[/large]-[small]« Pell »[/small] ;-) $x^2-2y^2=-1$.
Il est connu que les solutions de l'équation $|x^2-2y^2|=1$ sont les couples d'entiers $(x_n, y_n)$ définis par : $x_n+y_n \sqrt 2=(1+ \sqrt 2)^n$. Ce sont les unités de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt 2]$. Les $n$ pairs donnent les solutions de $x^2-2y^2=1$ et les $n$ impairs donnent les solutions de $x^2-2y^2=-1$.
On peut calculer ces suites à la main au moyen des relations de récurrence : $x_{n+1}=x_n+2y_n$ et $y_{n+1}=x_n+y_n$, ou bien on peut les voir
tout prêtes : https://oeis.org/A001333, https://oeis.org/A000129, assez loin pour répondre à la question.
Bonne journée.
Fr. Ch.
06/10/2021