$8$ divise $x^2+2$
dans Arithmétique
Bonjour, d'après mon cours, il est impossible que $8$ divise $x^2+2$ où $x\in \mathbb Z$ car $x^2+2\equiv 2\mod4$ mais je ne comprends pas... Merci pour votre aide.
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Réponses
Avec $x=1 \in \Z$, je calcule $8$ divise $1^2+2 = 3$ : je ne le savais pas.
J'avais mal lu l'énoncé.
Plus simplement, si $8$ divise $x^2+2$, alors $x$ est pair et on peut poser $x=2p$.
$8$ divise $4p^2+2$, donc $4$ divise $2p^2+1$, il y a comme un problème.
Cordialement,
Rescassol
YvesM, un cas particulier ne montre pas le cas général.
Cordialement,
Rescassol
Le but en fait est de montrer que si $y^3=x^2+2$ alors $x$ doit être impair. Mon cours procède ainsi:
$2|x\implies 2|x^2+2\implies 2|y\implies 8|y^3=x^2+2\equiv 2\mod4$ (c'est sûrement cette dernière congruence le problème).
On a seulement à prendre toutes les valeurs de $x$ entre $0$ et $7$ et pour chacune de ces valeurs prendre le reste modulo $8$ de l'expression $x^2+2$ et montrer qu'on n'obtient jamais un reste de $0$ (ce qui signifiera donc que $x^2+2$ n'est jamais divisible par $8$).
Si tu fais ces calculs tu pourras vérifier que $x^2+2$ ne peut avoir pour reste dans la division euclidienne par $8$ seulement l'un des nombres: $2,3,6$
Si $x$ est impair, $x^2+2$ l'est aussi et ne peut pas être divisible par $8$.
Cordialement,
Rescassol