Produit de deux nb premiers entre eux = cube
dans Arithmétique
Bonjour, soient $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb Z$ tel que pgcd$(\beta,\gamma)=1$ et $\alpha^3=\beta \gamma$. Alors j'aimerais montrer que $\beta$ et $\gamma$ sont des cubes, je ne vois pas comment démarrer... Merci pour votre aide.
Réponses
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Bonsoir Code_Name
Si $p$ est un diviseur premier de $\alpha$, peut-il diviser $\beta$ et $\gamma$ ?
Alain -
Non sinon ils ne sont plus premiers entre eux.
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Je crois avoir une petite idée où tu veux en venir mais il y a un point où je bloque.
Certes si $p$ est un diviseur premier de $\alpha$ alors par exemple il doit diviser exclusivement $\beta$, mais ce n'est pas forcément le cas de $p^3$ vu que $p^3$ n'est pas premier non? -
Crois-tu que $p^3$ (qui divise $\alpha^3$) pourrait diviser $\gamma$ ?
Alain -
Code_Name:
Si $N$ est un cube et si $p$ est un diviseur premier de $N$ alors il existe $q$ entier naturel non nul tel que $p^{3q}$ divise $N$ et $p^{3q+1}$ ne divise pas $N$. -
Ah oui effectivement AD donc on peut en conclure que $\exists p_1,\dots ,p_m$ premiers tels que $p_1^3\dots p_m^3$ divise $\beta$ et idem pour $\gamma$ donc $\beta$ et $\gamma$ sont des cubes.
D'après mon prof ce résultat est aussi valide dans $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$: Pour $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb Z[\sqrt {-2}]$ tel que pgcd$(\beta,\gamma)=1$ et $\alpha^3=\beta \gamma$ alors $\beta$ et $\gamma$ sont des cubes. Cependant ici on ne peut pas simplement prendre la décomposition en nombres premiers... Est-ce que vous avez un indice? Merci.
Fin de Partie: Je ne connais pas ce résultat, comment le montrer? Si $N=M^3$ et que $p$ divise $N$ alors $p$ divise $M$ donc aussi $p^3$ divise $M^3$ donc divise $N$ c'est ca? je ne vois pas trop... -
CodeName: On peut le voir comme une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique: un entier naturel non nul est égal au produit de puissances de nombres premiers. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.
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D'accord avec Fin de partie. Cette propriété caractérise les anneaux factoriels : https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel.
Considérons un anneau intègre commutatif $A$ ayant un élément $1$, neutre pour la multiplication. On appelle unité d'un tel anneau un élément inversible de cet anneau : https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_des_unités. Deux éléments $x$ et $y$ de $A$ sont dits associés si chacun d'eux est un diviseur de l'autre. Ceci équivaut au fait qu'il existe une unité $u$ telle que $y=ux$.
Dans un anneau factoriel $A$, si $\alpha^3=\beta \gamma$ avec $\beta$ et $\gamma $ premiers entre eux, alors $\beta$ et $\gamma$ sont associés à des cubes, ce qui signifie qu'il existe $b \in A$ et $c \in A$ et $u$ et $v$, unités de l'anneau $A$, tels que $\beta=u~b^3$ et $\gamma =v~ c^3$. Si les unités sont des cubes, alors $\beta$ et $\gamma$ sont des cubes.
Un anneau euclidien est principal, et un anneau principal est factoriel.
L'anneau $\mathbb Z$ est euclidien, donc factoriel, et ses unités sont $1$ et $-1$, qui sont des cubes.
L'anneau des entiers de Gauss $\mathbb G= \mathbb Z[ i]$ est euclidien, donc factoriel, et ses unités sont $1,i,-1,-i$, qui sont des cubes.
L'anneau des entiers d'Eisenstein $\mathbb E= \mathbb Z[j]$ est euclidien, donc factoriel, et ses unités sont $e^{k i \pi/3}$, $0 \le k \le 5$, qui ne sont pas toutes des cubes, alors, attention !
L'anneau $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$ est euclidien, donc factoriel, et ses unités sont $1$ et $-1$, qui sont des cubes. Dans cet anneau, la propriété est donc satisfaite. C'est ainsi qu'on résout dans $\mathbb Z$ l'équation diophantienne de Bachet-Fermat $x^2+2=y^3$, chère à mon cœur.
Bonne journée.
Fr. Ch.
29/09/2021 -
Bonjour, je reviens sur le problème initial car j'avais un petit doute, je vous propose ma rédaction.
J'ai dit avant que $\exists p_1,\dots ,p_m$ premiers tels que $p_1^3\dots p_m^3$ divise $\beta$ et idem pour $\gamma$ donc $\beta$ et $\gamma$ sont des cubes, mais en y réfléchissant ce n'était pas complétement évident.
On écrit la décomposition en nombres premiers de chacun de termes:
$\alpha=p_1\dots p_n$
$\beta=q_1\dots q_m$
$\gamma=\tilde q_1\dots \tilde q_l$
Vu que $\alpha^3=\beta \gamma$ on a $p_1p_1p_1\dots p_np_np_n=q_1\dots q_m \tilde q_1\dots \tilde q_l$.
Par le théorème fondamental de l'arithmétique, on a que tout $q_i$ (termes de $\beta$) s'écrit comme $p_j$, de plus vu que $p_j$ ne peut pas diviser $\gamma$ on a que deux autres $q_i$ s'écrivent comme $p_j$ (par intégrité et commutativité de l'anneau $\mathbb Z$).
En particulier $p_j^3$ est un terme de $\beta$. Pour simplifier le raisonnement, je suppose que les $p_i$ dans la décomposition de $\alpha$ sont tous distincts (sinon il faut tout simplement dire qu'une puissance de $3$ de $p_j$ est un terme de $\beta$).
Donc on répète ce procédé sur tous les $q_i$ jusqu'à épuisement et on obtient au final que $\beta$ s'écrit comme $p_{j_1}^3\dots p_{j_k}^3$ et donc que c'est un cube. On utilise le même raisonnement pour $\gamma$ ce qui conclut.
Est-ce bon? -
Code_Name: je ne comprends pas tout ton raisonnement mais il me semble que tu te trompes sur un point.
$2^6\times 3^9$ est un cube et tu peux voir qu'il n'y a pas de puissance de $3$ dans la décomposition de ce nombre en facteurs premiers.
PS:
Pour qu'un entier naturel non nul soit un cube il faut et il suffit que tous les exposants des nombres premiers qui interviennent dans la décomposition de ce nombre en produit de puissances de nombres premiers soient multiples de $3$. -
Ah oui effectivement je voulais dire "sinon il faut tout simplement dire que $p_j$ avec exposant un multiple de $3$ est un terme de $\beta$".
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Code_Name:
Je te conseille d'utiliser des exposants quand tu parles de la décomposition en produit de puissances de nombres premiers. -
Pour ce genre de questions, la décomposition en produits de facteurs premiers donne la solution dans $99\%$ des cas, c'est toujours le premier réflexe à avoir.
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De façon peut-être plus synthétique, si on note $v_p(x)$ l'exposant de $p$ dans l'écriture (unique) de $x$, on a trivialement $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$.
Or, "être premier entre eux" $\Longleftrightarrow \ v_p(x)v_p(y)=0$.
Également "être un cube" $\Longleftrightarrow\ \forall p,\ 3\mid v_p(x)$
Du coup si $\alpha$ est un cube, $\forall p,\ 3\mid v_p(\alpha)=v_p(\beta)+v_p(\gamma)$ et comme l'un des deux termes du second membre est nul, l'autre est également divisible par 3 et par conséquent $\beta,\gamma$ sont également des cubes. -
Bonjour,
$ ((A,
= 1 \wedge AB = C^n) \implies A = (A, C)^n \wedge B = (B, C)^n $ :
$ (A, C)^n = (A^n, C^n) = (A^n, AB) = A (A^{n-1}, = A$
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Bonjour!
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