Fraction décimale

Bonsoir,
Nulle trace, parmi mes souvenirs, de celui de la curieuse propriété qui fait l'objet de la première question.

Soit $a_{2s-1}, a_{2s-2,}\dots a_1, a_0 $ une suite de $2s$ éléments de $ [\![ 0 ;9]\!]$ qui forment dans cet ordre une période de longueur minimale de l'écriture décimale de $q = \dfrac n p,\quad (p\:\text{premier}, \: p\neq 2,5, \quad n\in \N, \: n\wedge p =1).$
Il importe d'observer que $2s = \inf \Big\{ k \in \N^* \mid 10^k\equiv 1 \mod p \Big\}= \text{ordre de}\:10\:\text{dans} \:\left (\Z/p\Z \right) ^{\times}$ et que $10^s \equiv -1 \mod p \qquad (\bigstar).$

$ \bullet\quad $ Soit $m = \displaystyle \sum _{k=0} ^{2s -1}a_k10^k = \sum _{k=0}^{s-1}10^k(a_k + 10^s a_{k+s}).\qquad (1)$
$\exists t \in \N $ tel que $(10^tq) \times(10^{2s}-1) = m, \quad 10^t n (10^{2s} -1) = mp, \:\:$ ce qui entraîne: $\: mp \equiv 0 \mod (10^s-1) \qquad (2).$
D'autre part, il résulte de $\:(\bigstar)\:$ que: $\quad (10^s-1) \wedge p =1$, ce qui avec $(2)$ entraîne: $\:m\equiv 0 \mod (10^s-1).$
La relation $(1)$ donne ainsi la congruence: $\:\:\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1} 10^k (a_k + a_{k+s}) \equiv 0 \mod (10^s-1).\qquad (3)$
Or, $0 < \:\:\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1} 10^k (a_k + a_{k+s})< 2(10^s-1)$ (les $a_k$ ne peuvent être ni tous égaux à $0$, ni tous égaux à $9$), et $\:(3)$ conduit alors à : $\:\:\:\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1} 10^k (a_k + a_{k+s}) =10^s-1.$ Une récurrence descendante sur $k$ permet enfin d'établir:$\:\:\forall k \in [\![0;s-1]\!], \quad 8< a_k + a_{k+s} <10.$
$$ \boxed{\forall k \in [\![0;s-1]\!], \quad a_k + a_{k+s} = 9.}$$

$\bullet \quad$ Soit $r_0, r_1, \dots r_{2s-1} $ une suite de restes successifs constituant une période.
$\forall k \in [\![0;2s-1]\!], ,\quad r_{k+1} \equiv 10 r_k \mod p, \quad \forall k \in [\![1;s-1]\!] , \:\: r_{k+s}\equiv 10^s r_k \mod p.\quad $ Or $\: 10 ^s \equiv -1 \mod p.$
$$ \boxed{\forall k \in [\![0;s-1]\!], \quad r_k + r_{k+s} = p .}$$

Re,
Cela découle directement, me semble-t-il, de la remarque $(\bigstar)$ de mon message précédent http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2304278,2304378#msg-2304378 et du simple fait suivant, appliqué à $\:a=10.$
$$\text{Si}\:\: a,p,q \in \N^*\:\text{ et }\:\:a\wedge p = a \wedge q = 1,\:\text{ alors:}\:\:\text{ l'ordre de}\:a\: \text{dans}\:\left(\Z/p\Z\right) ^{\times}\: \text{divise}\:\text{l'ordre de}\: a \:\text{dans}\:\left(\Z/pq\Z\right) ^{\times}.$$