Petit problème très simple
dans Arithmétique
Je propose un petit problème vraiment très simple à faire de tête 
trouver a et b entre 1 et 9 tel que $\displaystyle 9 \overline{ab}=\overline{a0b} $
Je pense que l'ont peut généraliser le problème et ça peut devenir plutôt intéressant
trouver a et b entre 1 et 9 tel que $\displaystyle 9 \overline{ab}=\overline{a0b} $
Je pense que l'ont peut généraliser le problème et ça peut devenir plutôt intéressant
Je suis donc je pense
Réponses
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Question idiote (quoique) : c'est quoi la petite barre horizontale ?
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J'ai aussi mis du temps à comprendre que le barre n'atteint pas le 9. Ça se lit, je pense, $9\times (10a+b) = 100a+b$.Après je bloque.
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Ah ok. Dans ce cas $a=4$ et $b=5$.
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Une autre! Une autre!Après je bloque.
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Beaucoup plus compliqué, je n'ai pas la solution.
trouver tout les nombres $\overline{abcd}$ tel que $\displaystyle \frac{\overline{abcd}}{\overline{ab}×\overline{cd}} \in \mathbb{N}$
À faire astucieusement, et non par essai erreur...Je suis donc je pense -
Si $a,b,c,d$ sont entre 1 et 9 je crois bien qu'il n'y a pas de solution.
Edit : peut-être parlé trop vite... -
En n'étant pas astucieux, on trouve deux solutions avec $a\ne0$.
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Oui j'ai décidé moi aussi de ne pas être astucieux et je trouve deux solutions...
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Bonjour,
Un début:
Soient $x=\overline{ab}$ et $y=\overline{cd}$. Alors $\dfrac{\overline{xy}}{\overline{x}\cdot\overline{y}} \in \mathbb{N}$. On en déduit $x|y$ et $y|100x$.
Si $x$ et $y$ n'ont que deux chiffres chacun, il n'y a pas beaucoup de cas à tester.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour.
Question amusante.
D'autant moins de cas que le plus grand des 16 cas est (17;34).Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Si on continue ce qu'a dit Rescassol, on trouve que ce sont les paires $(x, nx)$ où $n$ divise $100$, $0<n<100$ et $0<x<100/n$, soit
$n=1$, $1\leq x<100$;
$n=2$, $1\leq x<50$;
$n=4$, $1\leq x<25$;
$n=10$, $1\leq x<10$;
$n=25$, $1\leq x<4$;
$n=50$, $1\leq x<2$;
$\sum_{n|100}(100/n -1)=\sum_{d|100}(d-1)$ solutions (ie $\sigma_1(100)-\sigma_0(100)$).Après je bloque. -
Bravo i.zitoussi
Un nouveau problème encore plus dur dont je ne connais la réponse(mais je pense que vous réussirais à le résoudre:
On définis la fonction qui associe à tout $n\in \mathbb{N^{*}}$, le nombre de nombres $\displaystyle \overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}...\alpha_{n-1}\alpha_{n}}$ tel que $\displaystyle \frac{\overline{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}...\alpha_{n-1}\alpha_{n}}}{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}...\alpha_{n-1}\alpha_{n}} \in \mathbb{N}$
Quelle est cette fonction?Je suis donc je pense -
Mal posé.Après je bloque.
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Pour $k<n$,
$$
d_{n,k}=card \{ (a_1,....,a_n)\in[0,..,9]^n\mid \frac{\overline{a_1\cdots a_n}}{\overline{a_1\cdots a_k} \cdot \overline{a_{k+1}\cdots a_n}} \in \mathbb N\}.
$$
Et il faut trouver $d_{n,k}$ ?
Tu commences ?Après je bloque. -
On peut déjà commencer par écrire : $\displaystyle \frac{\overline{a_1\cdots a_n}}{\overline{a_1\cdots a_k} \cdot \overline{a_{k+1}\cdots a_n}}=\frac{\overline{a_1\cdots a_k}×10^{n-k}+\overline{a_{k+1}\cdots a_n}}{\overline{a_1\cdots a_k} \cdot \overline{a_{k+1}\cdots a_n}}=\frac{1}{\overline{a_1\cdots a_k}}+\frac{10^{n-k}}{\overline{a_{k+1}\cdots a_n}}$
On peut donc sauf erreur reformuler le problème.
Trouver la fonction qui associe à $n$ et à $k$, le nombre de paires $\alpha, \beta \in \mathbb{N^{2,*}}$ tel que :
$$\log_{10}(\alpha)<k+1\hphantom{+m} \\
\log_{10}(\beta)<n-k+1 \\
\frac{1}{\alpha}+\frac{10^{n-k}}{\beta} \in \mathbb{N}.
$$ (j’espère ne pas avoir fait de fautes d’inattentions :-)Je suis donc je pense -
On peut encore faire mieux.
Trouver la fonction qui associe à $n$ et à $k$, le nombre de paires $\alpha, \beta \in \mathbb{N^{2*}}$ tel que :
$$ \log_{10}(\alpha)<k+1\phantom{+m} \\
\log_{10}(\beta)<n-k+1\\
\alpha \beta \mid (10^{n-k}\alpha + \beta) .$$Je suis donc je pense -
Quentino, ta condition "$\alpha\beta$ divise $10^{n-k}\alpha+\beta$" se résout exactement comme a fait Rescassol. Ensuite tu obtiendras une expression du résultat très similaire au cas $n=4$, $k=2$.Après je bloque.
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On obtient donc que les paires $\alpha, \beta$ sont les paires de nombres $(x, nx)$ avec $n\mid 10^{n-k}$ telles que avec $0<x<10^{n-k}$, ...<... et ... <...Je suis donc je pense
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Mmmmh... le $n$ est suremployé dans ton message précédent.
Et peux-tu démontrer que "$\alpha \beta$ divise $10^{n-k}\alpha+\beta$" est équivalent à "$\alpha$ divise $\beta$ et $\beta$ divise $10^{n-k}\alpha$" ?Après je bloque. -
Oui si on divise $10^{n-k}\alpha+\beta$ par $\alpha$ ou on divise par $\beta$...
(Et inversement)Je suis donc je pense
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Bonjour!
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