Somme sur éléments d'ensembles disjoints

Salut !
J'ai cet exercice.

Soit $p\in{\mathbb N} ^\ast$. On divise l'ensemble $\{1,2,\ldots,2p-1,2p\}$ en deux sous-ensembles disjoints :
$\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\}$ et $\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p\}$ tels que :
$\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_p$ et $\beta_1>\beta_2>\cdots>\beta_p$. Montrer que :
$$|\alpha_1-\beta_1|+|\alpha_2-\beta_2|+\cdots +|\alpha_p-\beta_p|=p^2.

$$ J'ai essayé de montrer l'égalité par récurrence mais je n'ai pas pu.
Merci en avance pour me donner des indications