Ensembles remarquables

psolal · September 2021

Bonjour
On m'a donné cet exercice sur les ensembles remarquables.

On dit qu'un ensemble $ \{ p_1, p_2, \ldots\} $ est remarquable si l'ensemble des concaténations possibles reste un nombre premier (ex: $ \{3,7\} $ est remarquable car $37$ et $73$ sont tous premiers ; idem pour $ \{ 3, 11\} $ mais pas pour $ \{ 7, 11\} $ ).

On note $PR(n)$ la plus petite somme des ensembles remarquables à $n$ éléments (ex: $PR(2) = 3 + 7 = 10$)
Et le but est de calculer $PR(5)$ (mais bon j'aimerais bien trouver quelque chose sur $PR(n)$).

Cependant, je ne trouve aucune ressource sur ces ensembles sous le nom ensemble remarquable, j'ai démontré que les sous-ensembles d'ensemble remarquable étaient remarquables (trivialement), et je pense utiliser $PR(n-1)$ pour trouver $PR(n)$ mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne idée.
Auriez-vous des pistes de réflexions ? Ou alors un livre / une ressource approfondissant le concept d'ensemble remarquable ?
Merci beaucoup !

Grenouille factorielle · September 2021

Je suppose que par "ensemble de concaténations possibles", tu veux dire "ensemble de concaténations de tous les éléments de l'ensemble possibles", sinon tu auras du mal à trouver les ensembles dits remarquables de cardinal plus grand (strictement) que 3, puisqu'ils n'existent pas.

Je ne vois pas vraiment de moyen pour l'instant d'obtenir un critère intéressant pour trouver un ensemble remarquable d'ordre quelconque... ni même d'ordre 5. Il faut juste faire gaffe à ne pas prendre un ensemble tel que la somme des chiffres des nombres qui le composent divise 3, sinon c'est évident que la concaténation ne sera pas un nombre premier puisque 3 la divisera.

psolal · September 2021

Oui pardon, je n'ai pas été parfaitement clair, ce sont bien les concaténations de tous les éléments de l'ensemble possibles.
Et oui les critères que j'ai trouvé facilement sont :

- de n'avoir que des nombres premiers dans l'ensemble (et pas $2$ ni $5$)
- que $3$ ne divise pas la somme des chiffres des éléments de l'ensemble (des critères d'exclusion en gros).

Merci en tout cas !

Grenouille factorielle · September 2021

Je ne comprends pas bien ton premier critère. Je pensais qu'un ensemble remarquable n'avait pas le droit de contenir de nombre non premier. S'il a le droit, alors ce critère d'exclusion est faux, par exemple $\{1;3\}$ fonctionne alors que 1 n'est pas premier.

Tonm · September 2021

Bonjour, pour $5$ nombres premiers différents de $3$ il y a au moins trois parmi eux $\equiv 1$ ou $\equiv 2$ $\pmod 3$; notées $p,j,k$, le nombre $pjk$ est divisible par trois ce qui est impossible.
Je crois par contre un nombre premier $N=p_1p_2\cdots p_n$ (les nombres sont les chiffres de $N$) avec $p_i$ premiers existe pour tous $n$?

Cordialement.

psolal · September 2021

Ah oui, vous avez totalement raison, je n'avais pas essayé l'ensemble $ \{1,3\}$, et j'étais parti du principe que ce n'était probablement pas possible que des nombres non premiers appartiennent à ces ensembles remarquables, mais en fait je vois que c'est plus compliqué que cela ...

Et merci pour la preuve qu'il existe au moins un élément non premier dans un ensemble remarquable de cardinal 5, c'était très clair.
Je vais vérifier la propriété dont vous parlez par rapport à $N$.

Merci beaucoup en tout cas, je vais essayer d'y réfléchir un peu plus méthodiquement.

Tonm · September 2021

Oui, ce n'est pas une propriété mais une conjecture (de loin). Si on veux trouver $PR(4)$ et $PR(3)$ à force d'exister...

Edit, pour $n\ge 4$ pas d'ensembles remarquables pour la même raison. Si l'ensemble contient deux $3$, $33$ n'est pas premier, sinon on a ou bien deux nombres $p,j\equiv 1,2 \pmod{3}$ respectivement et $pj$ est divisible par $3$ (contradiction), ou bien $3$ nombres $\equiv 1 \text{ ou } 2 \pmod{3}$, formant un nombre divisible par $3$.
Un ensemble remarquable de cardinal $3$ a le nombre $3$ et deux autres premiers de la forme $3k+1$ ou $3k+2$...

PS. l'ensemble remarquable à $n$ nombres premiers que j'ai consideré est formé de concaténations de n'importe quelle longueur ($k$ nombres choisies parmi $n$, $k=1\ldots n$)
Cordialement.

babsgueye · September 2021

JeSalut.
PR(1) = PR(2) = 2, PR(3) = 5. PR(19) = 19, PR(23) = 23 et alors $\forall n\leq 23$ on peut majorer PR(n).

Bonne nuit.

babsgueye · September 2021

Par exemple on a ton $PR(5)\leq 4555$ et on a aussi $PR(6)\leq 1666$, ...., $PR(9)\leq 199$, et ça décroit jusqu'à $PR(17)\leq 37, PR(18)\leq 28\, \textrm{et} \,PR(19) = 19$

Cordialement.

raoul.S · September 2021

@babsgueye tu dis que $PR(2) = 2$ ? Si oui tu peux le prouver ?

babsgueye · September 2021

D'après la définition de @psolal, l'ensemble ne peut pas contenir 0 et pour 2, $\{1, 1\}$ convient. Tu as du rater quelque chose.

raoul.S · September 2021

@babsgueye je te signale que $\{1, 1\}$ est un ensemble. Donc $\{1, 1\}=\{1\}$.

Tu es encore de l'avis que $PR(2) = 2$ ?

babsgueye · September 2021

Ah ok, c'est moi qui ai raté quelque chose. J'avais pas fait attention au mot ensemble, j'ai pensé à une collection. Du coup tout ce que j'ai dit ci-haut est faux. Pour 19 j'ai pris la collection de 19... 1 qui donne le nombre premier 1111111111111111111. En fait PR(2) = 4.
Je vois pourquoi il ne doit pas y avoir beaucoup d'ensembles remarquables à partir de $n\geq 3$.

Merci.