Équation dans Z/nZ

Sara1993 · September 2021

Bonjour,
Je demande de l’aide concernant cet exercice qui me semble difficile.

Il s’agit de trouver tous les entiers naturels n>=2 pour lesquels : ou bien n | P(1) ou bien n | P(2) ... ou bien n | P(n), avec P(x)= x^2-46x+2.

J’ai commencé par remarquer que P(x)= (x-23)^2-527 et donc 527 doit être un carré dans Z/nZ.
Et que si n | P(x) et n | P(y) alors n | (x-y)(x+y-46) et donc que si x+y=46 mod n alors :
n | P(x) si et seulement si n | P(y).
Mais là je bloque.
J’ai aussi essayé d’écrire que x=23+racine(527+kn) mais je bloque aussi.
Merci d’avance.

ev · September 2021

Bonjour.

Réciproquement, si $527 = 17 \times 31$ est un carré dans $\Z/n\Z$, alors $n$ est solution.

e.v.

Sara1993 · September 2021

Pouvez-vous m’expliquer un peu plus? Merci.

ev · September 2021

S'il existe $a\in \Z/nZ$ tel que $a^2 = \overline{527}$, alors en prenant $\alpha \in \{1, \ldots, n \}$ tel que $\overline{\alpha + 23} = a$, alors $P(\alpha) \equiv 0 \mod n$.

J'ai manqué quelque chose ?

e.v.

LOU16 · September 2021

Bonjour,

Il s'agit de "déterminer" l'ensemble $ \mathcal E=\Big\{ n\in \N^* \mid \exists k\in [\! [1;n]\!]\: \text{tel que}\:n \:\text{divise}\: P(k)\Big\} = \Big\{n \in \N^* \mid 527\:\text{est un carré modulo}\:n\Big\}.$
Peut-être l'énoncé demande-t-il de dessiner un contour plus précis de $\mathcal E$, ce qui impose entre autres choses l'usage de la loi de réciprocité quadratique.

Soit $\mathbb P$ l'ensemble des nombres premiers. Pour $p \in \mathbb P, \: \mathcal V_p$ désigne la valuation $p-$adique.
Pour $q\in \mathbb P,\: p\in \Z, \: q\wedge p =1, \left( \dfrac p{q}\right )$ est le"symbole de Legendre", qui prend les valeurs $\pm1$ selon que $p$ est ou n'est pas un carré.$\text{modulo}\: q.$
Soit $A = \left\{ p \in \mathbb P \setminus \{2,17,31\}\mid (-1) ^{(p-1)/2}\left( \dfrac p{17}\right )\left(\dfrac p{31} \right) =-1.\right \}.\qquad $ Alors

$$ \boxed{\mathcal E= \Big\{ n \in \N^*\mid \forall p \in \{2,17,31\}\:\: \mathcal V_p(n)\leqslant 1 ,\:\:\: \forall p \in A, \:\: \mathcal V_p (n) =0 \Big\}}$$
$\left( \dfrac p{17}\right )=1 \iff p \equiv \pm1, \pm 2,\pm 4 , \pm8 \mod 17, \quad \left( \dfrac p{31}\right )=1 \iff p \equiv 1,2,4,5,7,8,9,10,14,16,18,19,20,25,28 \mod 31$
de sorte que: $\quad A \cap [\![1; 100]\!]=\Big \{3,5,11,13,19,23,41,47,53,59,67,79,89,97 \Big\}\quad $
$$\mathcal E \cap [\![1; 100]\!]=\Big \{ 1,2,7,14, 17,29,31,34,37,43, 49, 58,61,62,71,73,74,83,86,98 \Big \}$$