Équation diophantienne

Par ordinateur, il n'y a pas solution pour $1 \leq a \leq 22$. On le voit en considérant l'équation modulo $47$. Sauf pour $a=9$, où il faut considérer l'équation modulo $139$, et sauf pour $a=17$, où il faut regarder l'équation modulo $277$.
Par exemple, pour $a=1$, modulo $47$, $x^{23}=-1,0,1$ et de même pour $y^{23}$, donc il n'y a pas de solution.