Diviseur moyen

Sylvain
Sylvain
dans Arithmétique
Bonjour,

Quelle est la meilleure majoration à ce jour du diviseur moyen de $n$ soit $\frac{\sigma(n)}{\tau(n)}$ pour $\tau(n)\to\infty$? Peut-on obtenir un $O_{\varepsilon}(\log^{2+\varepsilon}n)$ quand $\tau(n)\to\infty$ ?
Merci.

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Compte tenu que $\tau(p)=2$ pour tout premier $p$, il faudrait déjà préciser ce que tu entends par $\tau(n) \to \infty$. Par exemple, considères-tu des sous-suites particulières d'entiers, comme les nombres hautement composés de Ramanujan ? Ou autre ? Bref, il faut affiner...

    De plus, comme $\tau(n) \ll n^\varepsilon$ et $\sigma(n) \gg n$, il ne va pas être simple d'obtenir une majoration en $(\log n)^{2+o(1)}$ sans autre précision sur $n$.
  • Sylvain
    Sylvain
    Donc dans le cas général en notant $f(n):=\frac{\sigma(n)}{\tau(n)}$ on a $f(n)\gg_{\varepsilon} n^{1-\varepsilon}$?
  • noix de totos
    noix de totos
    Oui. Ces deux fonctions sont de taille très différentes et n'appartiennent pas à la même classe : l'une vérifie la condition de Ramanujan et pas l'autre.
  • Sylvain
    Sylvain
    La série de Dirichlet $\sum_{n>0}\frac{\tau(n)}{n^s}$ définit une fonction L de la classe de Selberg non ? Si oui peux-tu me rappeler de quelle fonction L il s'agit ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Il s'agit de la fonction $\zeta(s)^2$.

    Au fait, j'ai un petit doute : ce que tu notes $\tau(n)$, c'est bien le nombre de diviseurs de $n$, non, et pas la fonction tau de Ramanujan ?
  • Sylvain
    Sylvain
    En effet, le nombre de diviseurs. Il me semblait bien que c'était la série de Dirichlet de $\zeta^{2}$ mais j'avais un doute.
  • Sylvain
    Sylvain
    Celle de Ramanujan vérifie $\vert\tau(p)\vert <2p^{11/2}$ de mémoire mais celle-ci me joue des tours.
  • Stator
    Stator
    Pour ce qui est de la moyenne il existe des choses. Par exemple on a pour une constante $C$ explicite:

    $$\sum_{k=1}^{n}\frac{\sigma(k)}{\tau(k)} \sim C\frac{n^2}{\sqrt{\log n}}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$
  • Sylvain
    Sylvain
    C'est intéressant ça. On a une idée de la valeur de la constante ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Plus précisément, pour tout $y$ vérifiant $x^{47/77} e^{(\log x)^{0,1}} \leqslant y \leqslant x$ et pour tout $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, on a
    $$\sum_{x < n \leqslant x+y} \frac{\sigma(n)}{\tau(n)} = \frac{xy}{\sqrt{\log x}} \left\lbrace C_0 + \frac{C_1}{\log x} + \dotsb + \frac{C_N}{(\log x)^N} + O \left( \frac{1}{(\log x)^{N+1}} \right) \right\rbrace$$
    avec
    $$C_0 := \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \prod_p p \sqrt{\frac{p}{p-1}} \log \left( 1 +\frac{1}{p} \right) \approx 0,3569 \dotsc$$
    Mais ce n'était pas l'objet de ta question première.
  • Sylvain
    Sylvain
    Effectivement. Je cherche toujours une majoration de la quantité $r_{0}(n):=\inf\{r>0\mid(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$, par exemple par le biais d'une inégalité comme $r_{0}(n)\ll\frac{\sigma(n)}{\tau(n)N_{2}(n)}$ à la suite de cette question.
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