Premier de la forme n!+1
dans Arithmétique
Bonjour à tous je souhaiterais établir
Soit $ n$ un entier
$ n!+1$ premier si et seulement si $ (n+1)!+1$ ne l'est pas
Je sais que si $ (n+1)!+1$ n'est pas premier $n!+1$ est premier .
Comment montrer la réciproque ?
Soit $ n$ un entier
$ n!+1$ premier si et seulement si $ (n+1)!+1$ ne l'est pas
Je sais que si $ (n+1)!+1$ n'est pas premier $n!+1$ est premier .
Comment montrer la réciproque ?
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Réponses
5!+1 n’est pas premier, 6!+1 n’est pas premier.
J’ai raté un truc ?
-- Schnoebelen, Philippe
Ou $p(!)+1$ pour reprendre une notation d’une passionnée.
Où dans tout ça, $p$ est premier.
[oups, j’avais en tête « un passionné », mais laissons comme cela]
$ n!+1$ premier si et seulement si $ nextprime(n+1)!>(n+1)nextprime(n!)$
Comment l'auteur passe à l'équivalence ?
il existe deux entiers $a,b_{p} $ tels que $ p=(n+1)!+b_{p}, nextprime(n!)=n!+a$
alors l'inégalité devient $ (n+1)!+b_{p}>(n+1)!+(n+1)a$ cette condition entraine $b_{p}>(n+1)a$
donc $ \min_{p>(n+1)!}(b_{p})>(n+1)a $ comme $ b_{p}\geq n+2$
alors $ n+2>(n+1)a$ et par suite $ a=1$ donc $ n!+1$ est premier .
Réciproquement si $ n!+1$ est premier alors il suffira de montrer que $ (n+1)!+1$ n'est pas premier pour avoir inégalité
on a aussi $(n!+1)^{\phi(n!)+1}\equiv n!+1[n!]$
Alors $ (n+1)!+1 \equiv (n!+1)^{\phi(n!)+1}[n!]$
Est ce qu'on pourrait conclure que (n+1)!+1 n'est pas premier ?
un petit up:
Pourquoi $n!+1$ et $(n+1)!+1$ ne sauraient être tous deux premiers si $n>2$?
cordialement
Paul