Dénombrement de diagonales
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai un exercice de dénombrement et je n'arrive pas à trouver combien de diagonales on peut avoir dans une grille avec la définition suivante. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Quand $a$ est fixé, je pense qu'il y a n diagonales.
$ D_b^a=\lbrace (k, \,ak+b\mod n),\ 1 \le k \le n \rbrace,\ $ pour $1 \le b \le n\ $ et $\ a \in \lbrace 1, \dots, n-1 \rbrace$.
Aussi, pourquoi on ne prend pas $a=n$?
Je vous remercie par avance.
J'ai un exercice de dénombrement et je n'arrive pas à trouver combien de diagonales on peut avoir dans une grille avec la définition suivante. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Quand $a$ est fixé, je pense qu'il y a n diagonales.
$ D_b^a=\lbrace (k, \,ak+b\mod n),\ 1 \le k \le n \rbrace,\ $ pour $1 \le b \le n\ $ et $\ a \in \lbrace 1, \dots, n-1 \rbrace$.
Aussi, pourquoi on ne prend pas $a=n$?
Je vous remercie par avance.
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Réponses
Tu peux regarder avec des petits exemples, comme toujours. Par exemple avec une grille de taille $2\times 2$ ou $3\times 3$.
Tu peux visualiser le point $(k, ak + b \pmod n)$ comme le point d'intersection de la droite d'équation $y=ax+b$ dans la grille (modulo $n$) à l'abscisse $k$.
Tu peux alors tracer les $n(n-1)$ droites d'équation $y=ax+b$ pour $(a,b)\in \{1,...,n-1\} \times \{1,...,n\}$ et voir comment interpréter le point $(k, ak + b \pmod n)$ à $(a,b)$ fixé.
Je trouve le terme "diagonale" un peu curieux avec cette définition (notamment puisqu'on n'a pas l'air de considérer les diagonales de pente non entière).
En tout cas, le terme "diagonale" est peut-être uniquement employé ici parce que l'on ne veut pas de pente $a$ valant $n$ car cela correspondrait à une pente verticale modulo $n$, et on souhaite en générale qu'une diagonale soit "oblique".
J’ai déjà essayé de travailler avec un exemple simple.
Si n=2, et que l’on fixe a=1, alors on a les diagonales {(1,0),(2,1)},{(1,1),(2,,0)}, ce qui fait bien 2 (donc n diagonales)
Si n=3 et que l’on fixe a=2, alors on a les diagonales {(1,0),(2,2),(3,1)},{(1,1),(2,0),(3,2)},{(1,2),(2,1),(3,0)}, ce qui fait bien 3(n) diagonales.
Si ni a ni b n’est fixé, alors il y a n(n-1) diagonales possibles ?
Je me trompe ?
Merci
Je suis d'accord avec $(n-1)$ choix pour le coefficient directeur $a$, et $n$ choix pour l'ordonnée à l'origine $b$, pour un total de $n(n-1)$ choix de droites qui ne sont pas horizontales.
Si tel est le cas, il suffit de s'intéresser à l'unique élément d'abscisse $k=1$ dans chacun des $D_b^a$ pour constater qu'à $a$ fixé, les $D_1^a , ... , D_n^a$ sont deux à deux distincts.
Merci marsup, je voulais effectivement dire que les droites ne devaient pas être horizontales.
oui c'est bien le cas.
D'accord je vous remercie, je vois mieux