Égales sommes de 3 carrés
dans Arithmétique
x, y, z peuvent être des naturels, posons : S= x+y+z+1, X = y+z-x, Y = z+x-y, Z = x+y-z, puis A = 2xy+S, B = 2yz+S, C = 2zx+S, a = 2xy+Z, b = 2yz+X, c = 2zx+Y ; on a alors :
A2 + B2 + c2 = B2 + C2 + a2 = C2 + A2 + b2 (1)
et
a2 + b2 + C2 = b2 + c2 + A2 = c2 + a2 + B2 (2)
Si dans (1) on choisit z tel que z=x+y+1 alors chacun des membres de la suite d'égalités est égal au carré de
(x+1)2 + (y+1)2 + z2.
Si dans (2) on choisit z tel que z=x +y alors chacun des membres de la suite d'égalités est égal au carré de
x2 + y2 + (z+1)2.
En relation avec la norme de la partie vectorielle d'un quaternion. Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je ne sais pas ce qu’il faut faire.
Cordialement
Dom
Vous pouvez répéter la question :-D ?
Cordialement,
Rescassol
1) Auriez-vous l'obligeance de vérifier par le calcul les propriétés présentées ?
2) Les avez-vous trouvées belles et agréables à l’œil ? Existent-elles déjà quelque part dans un bouquin de math (avec référence) ?
3) Ne peuvent-elles pas être anticipées (devinées sans calcul) en considérant la norme de la partie vectorielle du quaternion $(2x+1+I)(2y+1+J)(2z+1+K)\ $ ?
Amicalement.
1) Vérifié par Maple.
2) Très symétriques. Sans doute en exercice dans des bouquins d'algèbre de fin de lycée ou de prépa du vingtième siècle; mais qui les connaît tous ?
Cordialement.
2) Avez-vous aussi vérifié le calcul quaternionique qui mène aux formules. On peut d'ailleurs remarquer en divisant par 2 que le quaternion en question est un quaternion d'Hurwitz ?
3) J'ai survolé History of the Theory of Numbers de Dickson, qui est riche dans le domaine des sommes de trois carrés et n'y ai point vu mes identités ci-dessus qui sont vraiment très simples.
Bonne journée.
Je ne me suis jamais intéressé aux quaternions.