Tout petit problème

jver · June 2021

Trouver trois nombres [entiers] a, b, c, tous supérieurs à 1, tels que a divise bc-1, b divise ca-1 et c divise ab-1 ?
(joli petit problème trouvé dans la littérature)
J.V

Math Coss · June 2021

Spoiler.

def T(N=100):
    return[(a,b,c) for a in range(2,N) for b in range(2,a+1) for c in range(2,b+1) if (b*c-1)%a==0 and (c*a-1)%b==0 and (a*b-1)%c==0]
T(400)
[(5,3,2)]

Cidrolin · June 2021

D'après les hypothèses $\quad abc|(ab-1)(bc-1)(ac-1)$,

donc $\quad abc|ab+ac+bc-1$, or $ab+ac+bc>1$,

d'où $abc\leq ab+ac+bc$.

On en déduit $\quad \dfrac 1a +\dfrac 1b +\dfrac 1c \geq 1$.

Supposons $1\leq a \leq b \leq c$

On ne peut pas avoir $a>3$, et il y a trois cas à voir $a=1; \quad a=2; \quad a=3$.

Tout petit problème

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