Une limite

Cidrolin
Cidrolin
dans Arithmétique
Bonjour,

On pose $\mu^n= \mu * \mu * \cdots *\mu$, le produit de convolution de la fonction de Möbius, $n$ fois par elle-même.

On pose $a_n=|\mu ^n(2\times 3^2\times 5^3 \cdots \times p_n^n)|$, où $p_n$ est le $n$-ième nombre premier.

Déterminer la limite quand $n$ tend vers l'infini de : $$\Big (\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\Big)^{\tfrac1 n}$$

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    $e$
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bravo noix de totos.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    La première réponse qui m'était venue était presque la bonne : « euuuuhh... :-S » :-D
  • noix de totos
    noix de totos
    Indication de preuve : je note $\mu^{(\star \, n)}$ le $n$-ème itéré de convolution de Dirichlet de la fonction de Möbius. Cette fonction est multiplicative et, pour tout premier $p$ et tout entier $\alpha \geqslant 1$
    $$\mu^{(\star \, n)} \left( p^\alpha \right) = (-1)^\alpha {n \choose \alpha}.$$
    Ça devrait suffire pour conclure.

    Calli : Hé hé!
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Avec la remarque de noix de totos, on peut établir que $a_n$ est le produit des coefficients de la $n$-ième ligne du triangle de Pascal.

    Donc $\quad a_n=\displaystyle (n!)^{n+1} \prod _{k=0} ^n (k!)^{-2}$, pour $n\geq 0$,

    et $\quad \displaystyle \dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{n^n}{n!}$, pour $n\geq 1$,

    la limite cherchée est donc $e$.
  • etanche
    etanche
    C’est joli comme exo.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Joli mais pas original.

    On retrouve $e$ comme limite de $\quad \dfrac{a_{n-1}a_{n+1}}{a_{n}^2}$,

    ou avec $\quad 1+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n}{n^n a_{n-1}}$.
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