Suites d'entiers majoritairement premiers
En pièce jointe, une construction séquentielle de telles suites.
Cette construction est-elle programmable?
Si oui, comment varie la proportion de nombres premiers dans la suite.
Cette construction est-elle programmable?
Si oui, comment varie la proportion de nombres premiers dans la suite.
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Réponses
1) Suite d'entiers majoritairement premiers...c'est uniquement au début :)o car tu vas vite te retrouver avec : majoritairement non premiers...
2) Pourquoi commencer à l'envers ?
Alors que {3.4.5} ; 3*4 + ou -5 te donne 17 et 7; puis 3*5 + ou - 4 te donne 19 et 11 idem avec 4*5 + ou - 3 te donne 23 et 17 soit {3.4.5.7.11.17.19.23.59.61} etc etc
programmable oui ... mais pourquoi faire compliquer, si on peut faire simple afin d'avoir une majorité de nombres uniquement premier...:-S
Bon amusement ...
Ton texte est un peu confus, on ne sait pas bien comment tu obtiens ces suites. Toi non plus d'ailleurs puisque tu écris "Cette construction est-elle programmable?".
Une méthode parfaitement définie est généralement programmable (*), la tienne ne l'est pas dans l'état, puisque tu ne la définis pas clairement.
Conclusion : définis clairement la construction de tes suites. Ce qui la rendra programmable, permettra de vérifier ce qu'elle fait, et nous permettra peut-être de t'aider.
Cordialement.
(*) par exemple, la méthode "j'enlève les multiples de 2, 3, 5 et 7" donne parmi les entiers de 2 à 100 uniquement des premiers; et presque que des premiers parmi les nombres de 2 à 200. Et elle est totalement programmable
Avant cela, partant de la liste $[3,4,5,7]$, on peut former $53=3\times4\times5-7$ qui n'apparaît pas dans la liste longue. A contrario, avec le même départ, je ne sais pas produire $11$, $17$, $19$, $59$, $61$.
Peux-tu m'expliquer stp ? Exemple
Je pensais aussi que ce phorum pourrait apporter quelques améliorations à cette méthode de construction. Le but est de partager l’idée sous-jacente. Mes excuses si la formulation donnée peut paraitre difficile et l’est effectivement.
11 n'apparait pas;
Dans mon texte il est dit que les nombres trouvés à partir d'une nouvelle base vont enrichir ceux trouvés à partir de la base précédente.
11 se trouvait dans la suite précédente.
Mon explication est-elle suffisante?
Il semblerait qu'il soit possible de tenir compte de 1 comme élément supplémentaire (dans le texte de départ, quand la première liste comprend 3, 4, 5, les calculs font subitement apparaître 1), alors 11 et 13 s'obtiennent respectivement par $3 × 4 - 1$ et $3 × 4 + 1$.
[Édit : on peut aussi envisager que 11 soit obtenu par $3 × 5 - 4$, sans tenir compte du 7.]
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Oui, c'est sans doute comme cela qu'il faut le penser, mais alors Léon Claude Joseph a mal décrit les opérations qu'il a faites (ce qui a déjà été relevé).
Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi subitement faire aussi appel à 1 pour générer les éléments supplémentaires ?
À bientôt.
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Cordialement.
NB : Pourquoi ce message est-il dans "Arithmétique" ?
J’ai retrouvé ceci dans mes notes
Essai où la base est la partie vide des naturels :
( ) == (1 ) == ( 1,2) == (1,2,3 ) == (1,2,3,5,7 )\ == (1,2,3,5,7,11,13,17,29,31 )\ == (1,2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41,47,103,107,209,211 )
209 n’est pas premier.
Math Coss a écrit :
11 n'apparaît pas dans la « liste longue » produite à partir de (3,4,5,7).
Effectivement. Mais il apparait dans la suite précédente [de base (3,4,5)] que les nouveaux nombres produits par (3,4,5,7) viennent enrichir.
gerardO a sans doute raison.
Le procédé tel qu’il est exprimé n’est peut-être pas programmable. Personnellement, n’ayant reçu aucune formation dans ce domaine, je ne peux l’améliorer pour qu’il le soit.
Un procédé qui doit être modifié à chaque fois que le concepteur change d'envie n'est pas programmable.
Le fait d'accepter "exceptionnellement" l'unité revient, sans le dire, à ajouter un opérateur supplémentaire aux opérateurs déjà définis.
Je ne comprends toujours pas le bien fondé de cet opérateur supplémentaire car il est redondant avec ceux formés sur les parties de liste (voir mon premier message avec les exemples, 11 est bien obtenu de deux manières différentes).
Pour le reste, il faut choisir, "exceptionnellement" n'est pas une condition valide.
À bientôt.
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Tu as une nouvelle série avec les 3 nombre de départ, et les 8 nombres en question. Eventuellement moins s'il y a des doublons.
Tu prends les 4 plus petits nombres de cette série, notons les (a,b,c,d).
Et là pour l'étape suivante, tu autorises quelles combinaisons ?
abc+d ... soit 4 résultats
abc-d , 4 résultats également
ab+cd , 3 réultats
ab-cd
abcd-1
abcd+1
C'est ça ?
Tu demandes pourquoi au début, tous les nombres obtenus sont premiers, alors qu'à un moment, on finit par tomber sur des nombres composés.
Quand on fait ab+c, avec (a,b,c) premiers entre eux, on a l'assurance que le nombre obtenu sera premier avec a, b et c. Et comme tu travailles sur des petits nombres, tu as de très grandes chances qu'il soit premier.
En partant avec (3,4,5), les plus petits nombres composés qui sont premiers avec 3,4 et 5, c'est 7*7=49 puis 7*11=77 ... des nombres très grands par rapport à ceux obtenus.
Quand tu fais ab+c avec des nombres un peu plus grands, disons 11, 12 et 13, tu as l'assurance que toutes les combinaisons de ces 3 nombres donneront des nombres qui sont premiers avec 11,12 et 13 ... donc premiers avec 2, 3, 11 et 13.
Mais le résultat obtenu peut être multiple de 5 ou de 7 ou de 17 ou de 19 ...
Exemple : 11*13+12=143+12=155=5*31
Le résultat obtenu est premier avec 11, 12 et 13, mais il n'est pas premier.
Il y a un très beau théorème, dit de la suite arithmétique, qui établit que pour un couple de naturels $(a, b)$ premiers entre eux, la suite $(a \cdot n + b)$, où $n$ parcourt les naturels, contient une infinité de nombres premiers.
Des exemples classiques sont les suites de terme général $4\cdot n +1$, $4\cdot n +3$, $6 \cdot n +1$ et $6\cdot n +5$, entre autres.
À bientôt.
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Cela donne les proportions de nombres premiers dans les suites précédemment évoquées quand elles sont vues comme des classes d'équivalence.
Par rapport à la question d'une proportion fixée dans l'absolu, je ne vois pas, c'est peut-être encore à l'état de recherche.
À bientôt.
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Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers également répartis dans chacune des $\phi(a)$ suites arithmétiques $\{an+b\}_{n \in \mathbb{N}}$ (Dirichlet).
Cordialement,
Rescassol
Mais dans cette suite, la proportion de nombre premiers tend vers 0 quand n tend vers l'infini.