Exercice sur la divisibilité
dans Arithmétique
Bonjour,
Après 2 semaines ( avec des pauses!) de réflexion, j'aboutis à la solution suivante pour cet exercice. Qu'en pensez-vous? Je désespère un peu de passer autant de temps sur des exercices niveau terminale/ bac+1.
Merci pour vos retours qui me permettent d'avancer.
Après 2 semaines ( avec des pauses!) de réflexion, j'aboutis à la solution suivante pour cet exercice. Qu'en pensez-vous? Je désespère un peu de passer autant de temps sur des exercices niveau terminale/ bac+1.
Merci pour vos retours qui me permettent d'avancer.
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Réponses
Je vais retravailler cette exercice. S'il vous plaît n'apportez pas la réponse, je voudrais le réussir seul.
Poirot, niveau bac+1 prépa il y a plus de 10 ans (presque 20 finalement. J'ai été viré en fin de sup et j'ai bifurqué vers tout autre chose).
Poirot, non, cette notion ne me parle pas.
Si $n$ est impair $3^n-1=2(X) $ avec $X$ impair. Si $n$ est pair $3^{2m}-1=(3^m-1)(3^m+1)$, on va juste discuter la divisibilité de $3^m+1$ par $2^m$. Si $m$ impair même raisonnement $3^m+1=4X$ et $X$ impair. Finalement si $m=2k$ pair $Y=3^{2k}+1$ alors
$Y=9^k+1=2\pmod{8}$ je crois tu peux terminer.
Cordialement.
L'assertion $"\forall n \in \N^*,\quad 2^n \:\text{divise}\: (3^n-1) \iff n\in \{1,2,4\} "$ peut être vue comme une conséquence de: $$ \boxed {\forall n \in \N^*,\quad \mathcal V_2(3^{2n-1}-1) =1, \quad \mathcal V_2(3^{2n}-1) = \mathcal V_2(2n) +2.}$$
$\bullet \:\:\forall n \in \N, \:\: 3^{2n}\equiv (3^2)^n \equiv 1 \mod 8,\quad$ donc: $\:\: \forall n \in \N^*,\:\: 3^{2n-1}-1 \equiv 2 \mod 8,\quad \mathcal V_2(3^{2n-1}-1) =1.$
$\bullet \:\:$ La proposition $"\mathcal V_2(3^{2n}-1) = \mathcal V_2(2n) +2."$ est vraie pour $n=1. \:\:$ Soit $n>1.$
Si $n$ est impair: $ \:\: 3^n\equiv 3 \mod 8, \quad 3^n = 3 +8k,\:\:k\in \N, \quad 3^{2n}-1 =8(1+6k+8k^2).\qquad$ Ainsi: $ \mathcal V_2(3^{2n}-1)=3= \mathcal V_2(2n) +2.$
Si $n$ est pair: $\:\:\mathcal V_2(n) =a \geqslant 1.\quad$ L'hypothèse de récurrence appliquée à $\dfrac n2$ donne:
$\mathcal V_2(3^n-1)=a+2,\quad 3^n=1+2^{a+2}k \: \:\:(k \:\text{impair}),\:\quad 3^{2n}-1=2^{a+3}k(1+2^{a+1}k).\qquad$ Ainsi:$\:\:\mathcal V_2(3^{2n}-1)=a+3= \mathcal V_2(2n) +2\:\square$
Je propose un corrigé sur les indications de Tonm.
Lou16 j'étudie ta réponse mais je suis curieux de savoir comment tu as trouvé ce résultat. C'est super.
S'agit il de l'hypothèse dans le cas pair. Dans ce cas, comment sait on que n/2 est pair. J'ai réécris ta solution en explicitant bien la récurrence pour bien comprendre mais je dois utiliser une récurrence forte et faire 2 cas ( paire et impaire) pour démontrer la formule avec 2n.
J'applique, ce qui est légitime, l'hypothèse de récurrence à $\dfrac n2$, qui est un entier strictement inférieur à $n$. Peu importe la parité de $\dfrac n2.$
Il y a une unique hypothèse récurrence, et non deux.( l'une qui concernerait les entiers impairs et l'autre les entiers pairs.)
J'ai réécris de manière plus diluée et plus simple pour moi. Merci pour ton aide.