Les pgcd et ppcm

Je comprends la logique de la formule sur des exemples, mais je ne comprends pas comment la démontrer en utilisant les valuations p adiques.

@Math Coss
Je sais calculer le PGCD avec la décomposition en facteurs premiers. Je demandais comment passer de la formule 2 de la proposition à la formule 2 de la remarque.
Le PGCD est $2 \times 3^2$.

@Lourran
Le point 2 de la proposition est démontré dans le livre, alors que le point 2 qui suit ne l'est pas, c'est pour cela que je demande.

Je ne trouve pas comment utiliser $v_p( PGCD(a,b))=\min (v_p(a),v_p(b))$ pour montrer que $PGCD(a,b)=\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\min (\alpha_i,\beta_i)}$

J'ai enfin compris, c'est vrai que je ne suis pas très en forme ces temps-ci :-(

@Lourran
Que $X$ et $Y$ sont égaux.
La valuation $p$-adique est la puissance sur les $p_i$ dans la décomposition en facteurs premiers.
On a $a= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{v_{p_i(a)}}$ et $b= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{v_{p_i(b)}}$
J'étais entêté à vouloir utiliser les décompositions de $a$ et $b$ alors que c'est inutile ici.
On écrit $PGCD(a,b)= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{v_{p_{i} (PGCD(a,b))}}$
Or $v_{p_{i} (PGCD(a,b))}= \min ( v_{p_i(a)}, v_{p_i(b)})$
Donc $\boxed{PGCD(a,b)= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{ \min ( v_{p_i(a)}, v_{p_i(b)})}}$.

Merci fin de partie, je vais chercher un exercice sur Legendre et essayer de le faire.

Merci Bd2017.

Voici mon raisonnement.

Remarquons que $\dfrac{n}{p^k} <1 \Leftrightarrow E(\dfrac{n}{p^k})=0$

On a $\dfrac{n}{p^k}n<1 \Leftrightarrow n<p^k \Leftrightarrow k> E(\dfrac{n}{p^k})$

Posons $m= E(\dfrac{n}{p^k})$.

Comme $v_p(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^n v_p(k)$, il s'agit de montrer que $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n v_p(k)=\displaystyle\sum_{k=1}^m E(\dfrac{n}{p^k})}$

Et ici je bloque.

J'ai trouvé finalement. On écrit $\displaystyle\sum_{l=1}^d v_p(l)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\sum_{v_p(l)=k \ | \ 1 \leq l \leq n} v_p(l)$

Si k est entier je pense au c'est vrai. Je n'ai pas trouvé de contre exemple.

Ici k est entier.

Oui merci Fin de Partie, j'ai repris les notations de l'extrait que j'ai mis.

Question 7.a :

Soit $n \in \N^{*}$. Soit $p$ un nombre premier et $k \in \N$. Dénombrons les multiples de $p^k$ qui appartiennent à $[|1,n|]$.

Soit $q \in \N^{*}$. Alors $1 \leq qp^k \leq n \iff \dfrac{1}{p^k} \leq q \leq \dfrac{n}{p^k} \iff 1 \leq q \leq E(n/p^k)$

Donc $\boxed{\alpha_k=E(\dfrac{n}{p^k} )}$

Question 7.b :

$v_p(n!)=\displaystyle\sum_{d=1}^n v_p(d)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \left( \displaystyle\sum_{d \in [|1,n|] \ \ v_p(d)=k} v_p(d) \right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k \left( \displaystyle\sum_{d \in [|1,n|] \ \ v_p(d)=k} 1 \right) \\
= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k \beta_k$


Question 7.c :

On remarque que $\beta_k=\alpha_k-\alpha_{k+1}$

Donc $v_p(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k (\alpha_k-\alpha_{k+1}) \\
=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k \alpha_k-\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k \alpha_{k+1} \\
= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} k \alpha_k-\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty} (k-1) \alpha_{k} \\
= \alpha_1 +\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty} \alpha_k$

Finalement $\boxed{v_p(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} E(\dfrac{n}{p^k} )}$