Développement périodique

naima12 · May 2021

Bonjour

Soit $\frac{m}{n}$ une fraction, $m, n\in\mathbb{N}^*$ tels que $PGCD(m,n)=1$ et $n=2^e5^fn'$, avec $n'$ un entier premier avec $10.$ Merci de m'aider à montrer que le développement décimal de $\frac{m}{n}$ est périodique avec une période de longueur $\max (e,f)$.

gerard0 · May 2021

Bonjour.

Prenons m=1, n=7 (donc e=f=0). Tu voudrais montrer que le développement décimal de $\frac 1 7$ est périodique avec une période de longueur $\max(0,0)=0$.

Cordialement.

Cidrolin · May 2021

Une confusion entre début de la partie périodique et longueur de cette partie ?

Quentino37 · May 2021

il me semble(si je ne me trompe pas) que diviser par deux ne change pas la période, tout comme multiplier par 10 donc diviser par 5 ne change aussi pas la période... (si vous voyez ce que je veux dire... Pour ce qui ne voie pas d'ou je veux en venir, la longueur de la période de la parti périodique est indépendante de e et de f)
Si on prend n=13 et m=10 on à 0.76923076923.. période 6, e=0, f=0 max(e; f)=...
Si je prend n=2602600 et m=7, e=3, f=2, n'=13, PGCD(7 ; 2602600)=1, max(e, f)=3 7/260=0.026923076920.002692307692... période: beaucoup

C'est moi ou il y une erreur dans l'énoncé?(ça m'arrive à moi aussi

Merci naima pour avoir indiqué l'erreur

gerard0 · May 2021

Oui, l'énoncé est faux, c'est la conclusion de ce que je disais.

Quentino37 · May 2021

J'ai pris du temps à envoyer mon message et du coup vous avez envoyé vos messages en même temps que j'écrivais le mien... :-)

naima12 · May 2021

@tous, et si j'ajoute dans l'énoncé "avec $n'$ un entier premier avec 10 différent de $n$" ça devient juste?

Quentino37 · May 2021

non, regarde mon second exemple

naima12 · May 2021

@Quentino37, dans votre deuxième exemple le produit $2^e5^fn'$ vaut 2600 c'est différent de n=260

Quentino37 · May 2021

Merci d'avoir indiqué l'erreur!!!(j'ai l'habitude de tout de tête(quand c'est possible) et du coup parfois je me trompe...

PS: ça revient au même

,une multiplication par 10 ne change pas la longueur de la période

gerard0 · May 2021

Naima12, as-tu déjà regardé le développement décimal de fractions ? Il est vrai qu'on ne divise plus à la main, sauf parfois, une brève période vers 9-10 ans. mais avec les calculettes élémentaires, on voit déjà apparaître des périodicités, comme celle de 1/7 (période de 6 chiffres), de 1/11 (période de 2 chiffres). Et en réfléchissant un peu sur ce qui se passe en divisant, on comprend pourquoi il y a périodicité : Retour du même reste à diviser car il n'y en a qu'un nombre fini de possibles. On apprenait ça à 12 ans jusqu'en 1980, quand on divisait à la main, les calculettes n'existant pas.

Ton énoncé est faux, la longueur de la période dépend de n', pas de e et f. Je ne sais pas où tu l'as trouvé, mais il est facile de trouver des explications sur le sujet avec ton moteur de recherche préféré, et de comprendre ce qui se passe en divisant à la main.

Cordialement