Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$

Un exercice intermédiaire, situé entre la majoration triviale $\sigma(n) \leqslant n^2$ et la majoration plus difficile que j'ai proposée ci-dessus : montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,
$$\sigma(n) \leqslant \frac{n^2}{\varphi(n)}.$$

Bien, Marco.

En fait, ton inégalité $\varphi(n) + \sigma(n) \geqslant 2n$ est un cas particulier de la suivante : si $f,g,h$ sont trois fonctions multiplicatives telles que $h \geqslant 0$ et $f+g \geqslant 0$, alors
$$\forall n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}, \quad (f \star h)(n) + (g \star h)(n) \geqslant 2h(n).$$
Ton égalité s'ensuit alors en prenant $f = \mathbf{1}$, $g = \mu$ et $h = \textrm{id}$.

Pour une démonstration, voir cet article, dont l'un des auteurs est mon ami et collègue László Tóth.

Non. En gros, $n \log \log n$ est "l'ordre de grandeur" de $\sigma$

Plus précisément, on a aujourd'hui des inégalités, ou plutôt des majorations, explicites très précises de $\sigma$. En 1977, Ivic montre que $\sigma(n) \leqslant 2,59 n \log \log n$ pour tout $n \geqslant 7$.

En fait, tout l'enjeu réside dans la constante que l'on met devant $n$. En 1913, Gronwall montre que l'ordre maximal de $\sigma(n)$ est $e^\gamma n \log \log n$, c'est-à-dire que, pour $n \to \infty$
$$\sigma(n) \leqslant (1+o(1)) e^\gamma n \log \log n.$$
Ainsi, la meilleure possible est $e^\gamma \approx 1,78 \dotsc$. Mieux, on sait depuis 1984 avec Guy Robin que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si
$$\forall n \geqslant 5041, \quad \sigma(n) \leqslant e^\gamma n \log \log n.$$

Si, mais historiquement, je crois que Gronwall l'a présenté comme ça.