Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$
dans Arithmétique
Bonjour
Pour $n$ un entier strictement positif, soit $\sigma (n)$ la somme des diviseurs de $n$ (y compris $1$ et $n$). Je crois avoir montré que $\sup\{ \frac{\sigma (n)}{n} ~|~n \in \N^* \}=+\infty$. Donc je me demande si il existe $\alpha \in \R$ tel que $\sigma (n) \leq n^{\alpha}$ ? Et quelle est la valeur de $\sup \frac{ \ln (\sigma (n))}{\ln(n)}$ ?
Merci d'avance.
Pour $n$ un entier strictement positif, soit $\sigma (n)$ la somme des diviseurs de $n$ (y compris $1$ et $n$). Je crois avoir montré que $\sup\{ \frac{\sigma (n)}{n} ~|~n \in \N^* \}=+\infty$. Donc je me demande si il existe $\alpha \in \R$ tel que $\sigma (n) \leq n^{\alpha}$ ? Et quelle est la valeur de $\sup \frac{ \ln (\sigma (n))}{\ln(n)}$ ?
Merci d'avance.
Réponses
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Soit $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, alors $\sigma (n)=(1+p_1+\cdots +p_1^{\alpha_1})\cdots (1+\cdots+p_k^{\alpha_k}) \leq (\alpha_1+1)p_1^{\alpha_1} \cdots (\alpha_k+1)p_k^{\alpha_k}$
Or $\alpha_i+1 \leq p_i^{\alpha_i}$ car $p_i \geq 2$ et $\alpha_i\geq 1$, donc $\sigma(n) \leq n^2$. -
En fait, il y a plus simple: il y a au plus $n$ diviseurs et ils sont tous inférieurs à $n$, donc $\sigma(n)\leq n^2$.
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Encore mieux : pour tout $n \geqslant 16$,
$$\sigma(n) < e \zeta(2) n \log \log n$$
qui se rapproche du vrai ordre maximal de $\sigma$, à la constante près. Pour une démonstration, voir ce livre, exercice 63. -
Un exercice intermédiaire, situé entre la majoration triviale $\sigma(n) \leqslant n^2$ et la majoration plus difficile que j'ai proposée ci-dessus : montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,
$$\sigma(n) \leqslant \frac{n^2}{\varphi(n)}.$$ -
Bonjour.
N'y a t il pas au plus $2 \sqrt{n}$ diviseurs ?
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Merci Noix de totos.
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Soit $u$ et $v$ premiers entre eux, $\sigma(uv)=\sigma(u) \sigma(v)$, et $\phi(uv)=\phi(u)\phi(v)$. Donc pour montrer $\sigma(n) \phi(n)\leq n^2$, on peut se ramener à le montrer pour $n=p^k$ où $p$ est premier.
Pour $n=p^k$, $\sigma(n)=(p^{k+1}-1)/(p-1)$ et $\phi(n)=p^{k-1}(p-1)$, donc $\sigma(n)\phi(n)=p^{2k}-p^{k-1}\leq n^2$.
Donc pour $n\geq 1$, $\sigma(n) \phi(n)\leq n^2$. -
Voici une remarque liée à l'exercice de Noix de totos.
Soit $n$ un entier strictement positif. Soit $E$ l'ensemble des couples $(d, \lambda)$ où $d$ est un diviseur $>1$ de $n$ et $\lambda$ est un entier tel que $1 \leq \lambda \leq \frac{n}{d}$. Alors le cardinal de $E$ est $\sum_{d>1} \frac{n}{d}=\sum_{d<n}d=\sigma(n)-n$.
De plus, on a une application de $E$ dans $[1,n]$ qui à $(d, \lambda)$ associe $\lambda d$, qui est une surjection de $E$ sur l'ensemble $F$ des entiers non premiers avec $n$ et plus petits que $n$. $F$ est de cardinal $n-\phi(n)$. Donc $n-\phi(n) \leq \sigma(n)-n$, donc $2n \leq \sigma(n)+ \phi(n)$. -
Bien, Marco.
En fait, ton inégalité $\varphi(n) + \sigma(n) \geqslant 2n$ est un cas particulier de la suivante : si $f,g,h$ sont trois fonctions multiplicatives telles que $h \geqslant 0$ et $f+g \geqslant 0$, alors
$$\forall n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}, \quad (f \star h)(n) + (g \star h)(n) \geqslant 2h(n).$$
Ton égalité s'ensuit alors en prenant $f = \mathbf{1}$, $g = \mu$ et $h = \textrm{id}$.
Pour une démonstration, voir cet article, dont l'un des auteurs est mon ami et collègue László Tóth. -
Alors, $\sigma(n)$ est équivalent à $2 n$, pour $n$ grand, non ?
Édit : ce n'est pas vrai en général. Il faut que n soit friable, désolé.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Non. En gros, $n \log \log n$ est "l'ordre de grandeur" de $\sigma$
Plus précisément, on a aujourd'hui des inégalités, ou plutôt des majorations, explicites très précises de $\sigma$. En 1977, Ivic montre que $\sigma(n) \leqslant 2,59 n \log \log n$ pour tout $n \geqslant 7$.
En fait, tout l'enjeu réside dans la constante que l'on met devant $n$. En 1913, Gronwall montre que l'ordre maximal de $\sigma(n)$ est $e^\gamma n \log \log n$, c'est-à-dire que, pour $n \to \infty$
$$\sigma(n) \leqslant (1+o(1)) e^\gamma n \log \log n.$$
Ainsi, la meilleure possible est $e^\gamma \approx 1,78 \dotsc$. Mieux, on sait depuis 1984 avec Guy Robin que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si
$$\forall n \geqslant 5041, \quad \sigma(n) \leqslant e^\gamma n \log \log n.$$ -
N'est-ce pas plutôt que $$\limsup_{n \to +\infty} \frac{\sigma(n)}{e^{\gamma} n \log \log n} = 1$$ si on parle d'ordre maximal ?
Une idée de la démonstration ? -
Si, mais historiquement, je crois que Gronwall l'a présenté comme ça.
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