Maximum de $p_{n+1}/p_n$

Oui.

Il est atteint pour $n=2$, $p_2/p_1=3/2<5/3$, $p_4/p_3 = 7/5 < 5/3$, $p_5/p_4 = 11/7 < 5/3$ et, si $n \geqslant 5$, $p_{n+1}^2 \leqslant 2 p_n^2$. Cette dernière inégalité provient de [1].

[1] R.E. Dresser, L. Pigno & R. Young, Sums of squares of primes, Nordisk. Mat. Tidskrift 24 (1976), 27--40.

Noix de totos, il semble difficile de trouver cet article. L'inégalité $p_{n+1}^2 \leqslant 2 p_n^2$ est très intéressante, mais je n'ai aucune idée de la manière de la démontrer.

Tu es trop fort noix de totos.
Comment on démontre que $n(\log n + \log \log n - 1) \leqslant p_n\leqslant n (\log n + \log \log n)$ ?
(sûrement grâce à https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_nombres_premiers mais je n'y comprends pas grand chose (je ne vois même pas comment on pourrait prouver le théorème des nombres premiers. En utilisant la fonction zéta peut-être ?

Cette thèse est vraiment remarquable ! Est-ce que des gens ont poussé les estimations explicites plus loin avec les dernières vérifications de l'hypothèse de Riemann jusqu'à une plus grande borne ?

Bonjour
Et Malgré tous ces encadrements du nièmme nombre premier $P_{n+1}$ ; il n'y a toujours pas d'estimations du nombre de couples de premier $p+q$ qui décomposent $2n$ en somme de deux nombres premiers, pour tout $n>2$. ???

Alors que l'on a deux fonctions relative au TNP, 1) pour $\pi{(n)}$ on a $\frac{n}{ln\: n}$ ; 2) pour $\pi{(2n)} - \pi{(n)} $ on a $\frac{n}{ln\: 2n}$
et donc suivant la propriété récurrente de l'algorithme de Goldbach , avec comme conséquence du TNP on en deduit donc :
$\frac{n}{(ln\: n\;*\;ln\;2n)}$ ou encore : $\frac{\pi(n)}{ln\: 2n}$ qui donne le nombre de couples $p+q$ qui décomposent $2n$ en somme de deux nombres premiers, pour tout $n\geqslant{3}$ et ces deux fonctions ne peuvent être nulles .

Bonjour.

Pourtant, le postulat de Bertrand (théorème de Chebychev) est bien expliqué au début de la thèse de 1998, il faut juste lire.

À bientôt.

LEG a l'air persuadé que l'on obtient $r_2(n) > 0$ avec le TNP et "l'algorithme de Goldbach".

Poirot écrivait:

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LEG a l'air persuadé que l'on obtient $r_2(n) > 0$ avec le TNP et "l'algorithme de Goldbach".

Ben oui . Car avec cet algorithme pour toute limite $n$ vérifiée , tel que $2n = P'+q$ il est impossible d'infirmer que pour la limite suivante $n+1$, $2n + 2$ n'aurait pas de solutions !

car pour la limites $n-1$ vérifiée c'est à dire criblée qui donne le nombres de solutions vérifiant $2n = P'+q$ , elle donne aussi le nombre de solutions pour $2n +2$ , ""et même plus par récurrence ...""

l'algorithme à une propriété que n'a pas Ératosthène . Tu veux l'algorithme ?

@NDT , que donne tons estimation pour $r_2(n) = 1800 mds$ ?

Mais surtout : peux tu estimer le nombre d'entiers $A$ de 1 à 900 mds qui précèdent un nombre premier $A' = P'$ ?

Tu pourras vérifier, mais tu me diras que la vérification n'est pas une preuve , Tout à fait . elles permettent juste de vérifier les estimations....

@Noix de toto
l'image du résultat posté ci-dessus , c'est le résultat de l'algorithme de (Ératosthène /Goldbach) réunis pour une limite n fixée, par famille en progression arithmétique de raison 30 de premier terme (i) avec $i\in{1,7,11,13,17,19,23,29}$

On exclu donc les multiples de 2, 3 et 5.

l'algorithme utilise les nombres premiers $P\leqslant\sqrt{n}$ pour Ératosthène de 1 à n et $P\leqslant\sqrt{2n}$ pour Goldbach pour:
1) marquer 0 les multiples de P de 1 à n principe Ératosthène
2) marquer 0 les entiers $A\equiv{2n}[P]$ de 1 a n , principe d'Ératosthène mais en utilisant les congruences , de 1 à n

On peut utiliser, comme le montre l'mage du résultat posté ci-dessus une ou plusieurs famille de la forme $30k + (i)$ en fonction de la forme de $n = 15k +(i) $

Étant donné que pour toute limite $n$ fixée on va utiliser les même nombres premiers P pour cribler la même famille (i) , pour la même limite et selon le même principe d'Ératosthène,
il y a par conséquent suivant le TNP deux fonctions qui donne: $\pi(n)$ et $G(n)$ qui est le nombre dentiers $A\equiv{2n}[P]$ on ne peut pas dire le contraire ...!
D'où j'en ai déduit par raisonnement, que le nombre de $ A' = P'$ premiers et tel que $A'\not\equiv{2n}[P]$ qui implique $P'+q = 2n$ vaut
au minimum, à partir de n = 120, $\frac{n}{(ln\;n\:*\;ln\:2n)}$ et on peut même le calculer par famille(i)

il n'y a rien de compliqué...sauf , si on veut l'algorithme de Goldbach qui utilise les congruences.. Ce qui permet pour chaque limite $n$ criblée de connaître le résultat pour la limite $n+1$ sans avoir besoin de vérifier et donc : il est impossible d'infirmer que pour la limite 2n + 2 il n'y aurait pas de solutions le contraire serait absurde !

Et pour moi : cette fonction $\frac{n}{(ln\;n\:*\;ln\:2n)}$ est une conséquence indirecte du TNP. liée aux deux algorithmes et leur deux fonctions.

D'ailleurs il y a même mieux pour estimer le nombre de $p+q =2n$, tu prends $\pi(n)$ et tu exécutes la fonction $\frac{\pi(n)}{ln\;2n}$ qui est la conséquence des deux algorithmes ...
Ensuite il faut affiner...si on veut .... afin de corriger le terme d'erreur comme cela à été fait avec la fonction du TNP.

gerard0 écrivait:

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Comme il semble confondre valeur asymptotique et valeur approchée, c'est un peu normal,

Je suppose que toi tu ne t'es pas aperçu que dans ce sujet on parle que de fonctions asymptotiques pour estimer l'encadrement du n'ième nombre premiers $P_{n+1}$ et non pas de valeur approché du n'ième nombre premier ...

Et ben moi j'utilise la fonction asymptotique du TNP pour estimer un minimum de nombres premiers , ou de couples p+q = 2n , ou encore d'entiers $A\not\equiv{2n}[P]$ inférieur à une limite $n$ fixée

Comme le font beaucoup de matheux , en supposant la conjecture de Riemann vraie pour avoir une meilleur connaissance de la répartition des nombres premiers en faisant des estimations à l'aide de fonctions asymptotiques et autres, en corrigeant le terme d'erreur pour se rapprocher de la valeur réel de $\pi(n)$ pour une limite n fixée et non de la valeur approchée de $\pi(n)$ ..!

Mais je suppose que les tableaux de comparaison que l'on voit sur la plupart des site ou thèse de Mathématiciens professionnels, c'est surement par ce qu'ils confondent fonction asymptotique et valeur approchée d'un nombre.

Mais toi cela te pose un problème....car je suppose que tu confonds valeur approchée d'un nombre et estimation d'une quantité de nombres inférieur ou égale à une limite $n$ fixée.

Mes affirmation sont basées sur les propriétés de deux algorithmes que j'ai construit et les tiennes sur du vent ...

Gérard0 : merci pour l'information.