Énoncé théorème fondamental de l'arithmétique
dans Arithmétique
Bonjour
Cette question est relative aux diverses "façons" de formuler le "Théorème fondamental de l'arithmétique" que l'on peut trouver par-ci par-là.
Soit l'énoncé suivant :
Supposons que oui,
donc : "$2$ est un produit de facteurs premiers".
Mais ceci avec quelle définition du "produit" ?
Je n'ai pas trouvé de réponses "claires".
Cordialement.
Cette question est relative aux diverses "façons" de formuler le "Théorème fondamental de l'arithmétique" que l'on peut trouver par-ci par-là.
Soit l'énoncé suivant :
"Quel que soit l'entier naturel supérieur ou égal à $2$, cet entier naturel est égal à un produit de facteurs premiers."
L'énoncé précédent est-il valide tel quel ?Supposons que oui,
donc : "$2$ est un produit de facteurs premiers".
Mais ceci avec quelle définition du "produit" ?
Je n'ai pas trouvé de réponses "claires".
Cordialement.
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Réponses
Pour cela il faut définir la notion de produit fini. On peut définir, de manière unique, un produit $\prod_{i\in I} x_i$ pour toute famille finie $(x_i)_{i\in I}$, disons d'entiers naturels, vérifiant les choses suivantes :
- Si $|I| = 1$, alors $\prod_{i\in I}x_i = x_i$, où $i$ est l'unique élément de $I$
- Si $I = I_0\sqcup I_1$ est une union disjointe, $\prod_{i\in I}x_i = \prod_{i\in I_0}x_i \times \prod_{i\in I_1}x_i$
On pourrait être plus général et mieux formuler cette affaire, mais je vais m'en tenir à ça (à noter que dans le cas des entiers naturels, on peut déduire de ces deux points qu'un produit indexé par $\emptyset$ vaut $1$).
Cette définition est "la bonne" au sens où si tu as une famille $x_1,...,x_n$, $\prod_{i=1}^nx_i$ sera bien "$x_1\times ... \times x_n$"
Avec cette définition, l'énoncé est correct même en mettant $n\geq 1$, comme je l'ai dit tout au dessus
Une liste de nombre est soit l'ensemble vide, soit un couple $(l,q)$ où $q$ est un nombre et $l$ une liste de nombre. Le produit $\prod$ des éléments d'une liste $l$ est défini à nouveau par induction de la façon suivante:
-$\prod \emptyset$ est égal à $1$
-$\prod (m,r):= r \times \prod m$
Ainsi, $\prod (\emptyset,2 )=2$.
Dois-je en déduire qu'au sens "usuel" du "produit de deux entiers naturels" :
( application de $ \mathbb N \times \mathbb N$ dans $ \mathbb N $ $...$ )
l'énoncé suivant n'est pas valide ?
cet entier naturel est égal à un produit de facteurs premiers."
Cordialement
J'en "tire" :
Qu'il faut donc au préalable définir un "produit fini" d'entiers naturels,
ce qui rend valide l'énoncé suivant,
cet entier naturel est égal à un produit fini de facteurs premiers."
$2$ est alors bien un "produit fini" de facteurs premiers.
Grand merci
Cordialement.
Mais, Foys, qui a indiqué la quantité de deux facteurs premiers ? Dans l'énoncé, je ne vois que le "s" du pluriel qui est une quantité indéterminée supérieure à 2. Donc, on peut dire de 12 qu'il est le produit de facteurs premiers. L'énoncé est valide tel quel.