Énoncé théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier non nul est un produit de nombres premiers.

Pour cela il faut définir la notion de produit fini. On peut définir, de manière unique, un produit $\prod_{i\in I} x_i$ pour toute famille finie $(x_i)_{i\in I}$, disons d'entiers naturels, vérifiant les choses suivantes :

- Si $|I| = 1$, alors $\prod_{i\in I}x_i = x_i$, où $i$ est l'unique élément de $I$
- Si $I = I_0\sqcup I_1$ est une union disjointe, $\prod_{i\in I}x_i = \prod_{i\in I_0}x_i \times \prod_{i\in I_1}x_i$

On pourrait être plus général et mieux formuler cette affaire, mais je vais m'en tenir à ça (à noter que dans le cas des entiers naturels, on peut déduire de ces deux points qu'un produit indexé par $\emptyset$ vaut $1$).

Cette définition est "la bonne" au sens où si tu as une famille $x_1,...,x_n$, $\prod_{i=1}^nx_i$ sera bien "$x_1\times ... \times x_n$"

Avec cette définition, l'énoncé est correct même en mettant $n\geq 1$, comme je l'ai dit tout au dessus