Une simple question sur la définition de Z

Je pense qu'il s'agit d'un exemple "moral". En gros cet exemple te dit que le $\Z_{ax}$ qui a été construit (choix de nom curieux d'ailleurs : il est axiomatique ou construit ? :-D bref) correspond au $\Z$ qu'on "connait intuitivement".

C'est un peu un cahier des charges de "$\Z$", et l'exemple 4 te dit que ce cahier des charges est rempli (on peut l'expliciter: tout élément de "$\Z$" est dans $\mathbb N$, ou est $-n$ pour un certain $n\in \mathbb N$, et $x+y = x'+y'$ si et seulement si $x-x' = y'-y$)

C'est une excellente question !

La réponse est (comme souvent...) "ça dépend". En fait ça dépend d'au moins 2 aspects:
1- qu'entend-on par "définition axiomatique" ? (dans quel cadre ?) et
2- quel aspect de $\Z$ veut-on capturer par cette définition axiomatique ?

Je commence par expliquer 2- : le $\Z$ "intuitif" qu'on connait est un objet extrêmement structuré. Il a une addition, une multiplication, un ordre (total), une fonction successeur, un ordre de divisibilité, une valeur absolue, ... (certaines de ces structures sont redondantes, ce n'est pas grave). Une "définition axiomatique de $\Z$" doit au préalable dire dans quel cadre.
Veut-on une définition axiomatique de $(\Z,+)$, de $(\Z,\times)$, de $(\Z,+,\times,\leq)$, ... ? La réponse risque de changer selon notre imagination dans les "...".

Ensuite 1- : "définition axiomatique", sans trop préciser, ça ne veut pas dire grand chose. Beaucoup de gens iront immédiatement dans le truc classique "logique classique du premier ordre dans tel langage", mais c'est un peu simpliste, et malheureusement si on fait ça (et qu'on impose un langage fini) la réponse devient trivialement non pour des raisons de théories des modèles qui n'ont rien à voir avec $\Z$ (et donc nous écartent de la "vraie" question - mais bon, ça peut être intéressant)

Je vais donc te donner un aperçu des réponses possibles en faisant varier la réponse à 1 et à 2, comme ça tu verras un peu la diversité de ce qu'on peut obtenir; et tu me diras si ça te satisfait, ou si tu pensais à autre chose.

A- $\Z$ avec n'importe quelle structure, dans un langage fini du premier ordre: Bon là, c'est une question très très précise, et la réponse est non, comme je l'expliquais plus haut, pour des raisons de théorie des modèles qui n'ont rien à voir avec $\Z$. Plus précisément, pour toute théorie dans un langage fini $L$ telle que $\Z$ (muni d'interprétations comme il faut) est un modèle de cette théorie, alors il existe (infiniment) d'autres modèles de cette même théorie.

B- $(\Z,+)$, en tant que groupe : comme expliqué en A, on ne peut pas le voir axiomatiquement au premier ordre. Par contre, on peut le définir axiomatiquement parmi les groupes, à isomorphisme près. En effet, il possède un élément $x$ (à savoir $1$) tel que pour tout groupe $G$ et tout élément $g\in G$, il existe un unique morphisme $\Z\to G$ envoyant $x$ sur $g$.
C'est une définition "axiomatique" en un sens, et elle caractérise bien $\Z$ (à isomorphisme près, si on fixe $x=1$, à unique isomorphisme près)

B' - $(\Z,+,\times,0,1)$ en tant qu'anneau unitaire: avec le même caveat qu'en B, on peut lui donner une définition axiomatique parmi les anneaux unitaires, à unique isomorphisme près . En effet, c'est le seul anneau unitaire (à unique isomorphisme près) tel que pour tout anneau $B$, il existe un unique morphisme $\Z\to B$. ça ressemble beaucoup à $B$, mais c'est un peu différent.

C- Revenons vers A, mais autorisons-nous une logique plus forte : la logique du second ordre. Alors on peut définir axiomatiquement $\N$ (bon, faut voir ce qu'on entend par là mais on peut rendre cet énoncé précis), et donc $\Z$, par exemple en rajoutant un prédicat qui isole $\N$; et en énonçant une théorie du second ordre qui axomatise $\N$ relativisée à ce prédicat, et en rajoutant des axiomes comme par exemple "$\forall x, x\in \N \lor (\exists y\in \N, x+y= 0)$"

D- $(\Z,<)$ : comme pour A, au premier ordre, pas moyen de caractériser $\Z$, mais on peut presque le faire: on demande que $\Z$ soit un ordre total, avec successeurs et prédecesseurs, sans maximum ni minimum. Cette théorie du premier ordre caractérise essentiellement les $\Z\times P$, $P$ un ordre total.
Il y a alors différentes manières de sortir légèrement du premier ordre pour imposer $P=\{*\}$. Par exemple on peut demander que le graphe de notre ordre soit connexe; ou encore on peut caractériser $\Z$ parmi ces ordres d'une manière similaire à B,B'.

@JP2021 : je réponds seulement à une partie de tes questionnements, je laisse Max (que je salue au passage) gérer le reste.
En logique du 1er ordre, les autres modèles de l'axiomatique sont :
à droite : Z, suivi de plein de copies de Z, de telle façon que l'ensemble de ces copies suit un ordre total dense sans fin (i.e. entre 2 copies tu en as une autre, et il n'y a pas de copie finale).
à gauche : idem, mais dans l'autre sens.
Oui, c'est bien ça qu'on appelle des modèles non standards.

Pour axiomatiser $\Z$, le plus simple à on avis est de dire qu'on est en arithmétique de Peano, qu'un entier relatif est juste deux entiers naturels, et que $(x,y)=(x',y')$ abrège $x+y'=x'+y$.
Après des modèles non standards de l'arithmétique donneront des modèles non standards de $\Z$.

Si l'on s'intéresse à $\mathbb Z$, non pour se complaire dans sa contemplation prolongée, mais pour faire sans tarder des choses avec, comme de l'arithmétique, le plus efficace à mon sens c'est de le définir comme un anneau (unitaire) commutatif ordonné tel que toute partie non vide de $\mathbb Z_+$ a un plus petit élément.

Maxtimax a écrit:

Le problème de la logique du second ordre c'est par exemple qu'elle n'est pas complète

J'ai l'impression que c'est quand même la théorie des ensembles (et le fait d'énoncer la complétude dans son cadre) qui provoque ces problèmes. Il y a bien complétude avec l'approche de Henkin, cependant les spécialistes insistent (pourquoi?) pour interpréter $\theta \left (Y^X \right)$ par "l'ensemble de toutes les fonctions de $\theta(X)$ vers $\theta (Y)$" ($X,Y$ étant des sortes et $\theta$ leur interprétation).

Prenons un ensemble transitif $M$ et $A,B,C\in M$, alors un énoncé aussi simple que "$C$ est l'ensemble des fonctions de $A$ dans $B$" n'est pas absolu pour $M$ (la situation où $A,B,M$ sont dénombrables et $A,M$ infinis pouvant être problématique). Est-ce qu'on sait vraiment de quoi on parle quand on évoque $B^A$ ?

On peut traiter la complétude du 1er ordre sans référence à la TDE (et de façon intuitionniste comme le fait Krivine dans son article); la méthode se généralise à d'autres systèmes (ce serait amusant de voir ce que donne cet exemple avec des bons ordres).

On pourrait utiliser un énoncé comme "$(\Z,+,\times,0,1)$ est un objet initial de la catégorie des anneaux unitaires" (edit: c'est ce qu'a dit Maxtimax plus haut!). Ca ne le construit pas mais les présentations axiomatiques servent à caractériser, tandis que ce sont les constructions qui servent à prouver que l'objet doté des propriétés voulues existe bel et bien.

$\Z$ est fondamentalement un dérivé de $\N$, même s'il existe des caractérisation astucieuses (anneau particulier, objet initial de certaines catégories etc). Je pense que c'est pour cela que les auteurs n'ont pas fait plus d'efforts dans le sens que tu suggères.

$\Z$ a été inventé par des comptables italiens de la renaissance pour exprimer des dettes: si Alice possède 1000 lires et qu'elle en doit 2500 à Bob, la phrase "Alice est à -1500 lires" est une représentation pertinente de la situation financière d'Alice.

La pédagogie contemporaine préfère ne pas en parler (par aversion pour le capitalisme?) et invoquer des exemples ad-hoc maladroits voire des horreurs conceptuelles (étages d'immeuble ou pire, températures en degré Celsius... Pourquoi les physiciens s'expriment en Kelvin?)

"qui est isomorphe à [...] de manière ensembliste en toute rigueur $\subset$" : tu as ta réponse, non ? :-D

Tu poses une question à la fois intéressante et à la fois sans intérêt : "en toute rigueur", la réponse est non, mais elle était "non" déjà pour $\N$, contrairement à ce que tu as l'air de dire.

Ensemblistement, un ensemble est un ensemble, il est défini uniquement et entièrement par ses éléments et rien d'autre. Donc $\omega$ et le sous-ensemble de $\Z$ isomorphe à $\N$ ne peuvent pas être tous les deux notés "en toute rigueur ensembliste" de la même manière, même s'ils satisfont les mêmes axiomes.
En d'autres termes, ensemblistement, tu ne peux pas définir $\N$ par une liste d'axiomes, tant que ceux-là ne le caractérisent pas uniquement à égalité près.

Mais tu sens bien que c'est "ridicule". Bien sûr qu'on peut définir uniquement $\N$ par la liste d'axiomes, puisqu'elle le caractérise uniquement à (unique - c'est important) isomorphisme près. Bah de la même manière, si tu as une liste de données et de propriétés qui définit uniquement $\Z$ à (unique) isomorphisme près, tu peux définir $\Z$ de cette manière. Par exemple en tant que "complétion en groupes" de $\N$ (lui-même vu en tant que monoïde, ou semi-anneau, ou ce que tu veux plus ou moins)

Le problème de notation/identification sera le même pour $\Z$ que pour $\N$. Dans les deux cas, il faut auparavant déterminer ce que tu veux considérer comme étant la "nature" de $\N, \Z$ (en tant que quoi tu veux le considérer: ensemble, monoïde, semi-anneau, semi-anneau ordonné,... ?; et quelle propriété il doit satisfaire avec cette structure) et vérifier que cette "nature" le détermine à (unique) isomorphisme près. A partir de là, toutes les identifications que tu fais seront innocentes, mais aucune ne sera "rigoureuse ensemblistement". C'est la vie.

C'est d'ailleurs pour ça que certaines personnes cherchent des langages différents dans lesquels faire ces identifications rigoureusement.



NB: j'ai rajouté l'adjectif "unique" devant "à isomorphisme près", parce que c'est quelque chose qu'on oublie souvent et qui peut causer des erreurs. Par exemple "la" clôture algébrique d'un corps ne vérifie pas ça, et on se rend compte quand on fait des choses sophistiquées avec qu'il faut prendre cette ambiguïté en compte !
Un autre exemple où ce genre de situations a causé un problème est dans ce fil par exemple : $\mathbb Q(\sqrt d)$ n'est pas bien défini en tant que corps. J'avais d'ailleurs hésité, à la suite de ce fil, à faire un post sur la question de l'identification, du joli "à isomorphisme près" qu'on adore quand on découvre cette notion - tes questionnements (qui sont intéressants !) suggère que j'aurais peut-être eu intérêt à le faire :-D

Bah ça tu peux le faire peu importe la manière dont tu définis les choses : renommer un objet dès que tu le plonges quelque part pour dire "inclus". Oui on peut le faire, pour $\N, \Z, \Q, \R$, n'importe quel truc que tu plonges autre part.

Le mieux est d'oublier la notion d'inclusion et de la remplacer par celle de plongement :-D

Mouais...
L’argument « pourquoi les physiciens utilisent le Kelvin ? », bof bof (ce n’est pas un argument du tout !).

Rassure-toi la « pédagogie contemporaine » utilise aussi les buts marqués et encaissés des championnats nationaux, et l’argent de Mireille et celui qu’elle doit le cas échéant.

Quel est le problème de l’ascenseur ? et de la température en °C ?

JP2021 a écrit:

"Monsieur, si je vois les nombres positifs comme des longueurs de cordes comment enlever -2 mètres à corde de 5 mètres ça peut la faire grandir à 7m ?" mets-tois à la place du prof qui doit répondre dans l'instant .

Tu dis "Les nombres négatifs n'existent pas" et après l'élève va éplucher les patates à la cantine B-).

Plus sérieusement: un nombre (entier ici) relatif est un couple $(a,b)$ d'entiers naturels avec la convention: pour tous $a,b,c$, $(a+c,b+c)=(a,b)$. Un nombre relatif est dit négatif (resp positif) s'il est égal à un nombre relatif de la forme $(0,t)$ (resp. $(t,0)$) pour un certain $t$.
Pour tous $p,q,r,s$, "Ajouter $(p,q)$ à $(r,s)$" signifie: livrer $(p+r,q+s)$.
Pour tous $x,y$, "retrancher $(x,y)$ à $(a,b)$" signifie ajouter $(y,x)$ à $(a,b)$.
Et tu t'épargnes des centaines de pages de fausse philo maladroite.

Exo (élimination du signe "$-$"): soient $d\in \N$, $P,Q\in \Z[X_1,...,X_d]$. Montrer l'existence de quatre deux (edit) polynômes $A,B$ ,C,D à coefficients dans $\N$ et à indéterminées $X_1,...,X_d,Y_1,...,Y_d$, tels que pour tous $x_1,...,x_d,y_1,...,y_d\in \N$, $P(x_1-y_1,x_2-y_2,...,x_d-y_d)=Q(x_1-y_1,x_2-y_2,...,x_d-y_d)$ si et seulement si $A(x_1,...,x_d,y_1,...,y_d)=B(x_1,...,x_d,y_1,...,y_d)$ et . Construire algorithmiquement $A,B$ en fonction de $P,Q$.

Ok.

Ce que j’aime bien dans l’ascenseur c’est la non évidence de la commutativité.
Je suis au 2e puis je descends de 5 étages, modélisé par : (+2)+(-5)
Je suis au sous sol 5 puis je monte de 2 étages, modélisé par : (-5)+(+2).
Idem pour l’associativité.

C’est même une vision vectorielle : $Point$ + $Vecteur$ = $Point$.

Bon, pardonnez ma digression. Je laisse le fil se poursuivre.

Dans le secondaire on arrive avec un tas « d’il existe ».
Je ne sais pas si c’est une faille véritablement perfectible et nuisible.
Bien entendu, le prof doit en parler, je pense que c’est cela l’important.

Je crois que dans les derniers programmes on lisait un truc comme « les relatifs permettent de rendre possibles toutes les soustractions ».
Ce qui n’est pas justifié non plus. Mais ça part quand même de l’idée de la construction de $\mathbb Z$ avec « le nombre qu’il faut ajouter à $b$ pour obtenir $a$ ». On pourrait appeler cela « méthode des sommes en croix » même si « croix » n’a plus de sens.

Christophe : là tu parles de motivation de théorèmes, ce qui n'a rien à voir avec la motivation d'une notion.

Par ailleurs, je suis d'accord avec Dom : il faut vraiment avoir une conception bizarre des enfants, de l'éducation, et de l'intérêt des maths à l'école pour penser qu'introduire $\Z$ sous la forme "l'ensemble des couples modulo bidule" est une bonne idée.
Bien sûr qu'introduire $\Z$ sous forme "axiomatique" laisse à désirer quant à son existence : et $\N$ alors ? On va introduire les ordinaux et l'axiome de l'infini en CP ?

@max : oui comme on est entre familiers j'ai écourté. Je n'ai jamais prôné de suivre de manière littérale Bourbaki des la grande section de maternelle.

Comme signalé par max d'ailleurs : motiver des notations ou abréviations est différents (je passe sur le fait que la recherche récente a prouvé que nommé A c'est défendre non A, donc in some sense la modération rappelé par max POURRAIT être regardée elle même avec modération.

Tu as parfaitement raison et j'avais déjà évoqué ce point, c'est pourquoi (je vais vérifier) j'ai écrit "partiel" en majuscule.

Ce que tu dis est subordonné au fait qu'on prouve A. Hélas dans le contexte pédago, on ne prouve pas grand chose de façon formelle, et la partialité importante du truc fait que la motivation que tu évoques devient une déception: " ah bin voui, non(A)... " 1H plus tard "pff, c'était barbant: on a appris non(A), puis après c'était bizarre, on aurait presque cru que le prof essayait de nous faire oublir non A" :-D