Place ramifiée

Dans $\mathbb{Q}(\zeta_{12}) / \mathbb{Q}(\sqrt 3)$, les deux places infinies de $\mathbb{Q}(\sqrt 3)$ se ramifient.

En effet, ces deux places dont $\textrm{Id}$ et $\sigma$ définie par $\sigma(a+b\sqrt 3) = a - b \sqrt 3$, et l'on a $\sigma_i (\mathbb{Q}(\sqrt 3)) \subseteq \mathbb{R}$ et, si $P = X^2 - X \sqrt 3 + 1$ est le polynôme de l'extension, alors les polynômes $P^{\sigma_i}$ ont des racines non réelles.

En fait, on distingue, et c'est assez subtil je l'avoue, les notions d'extension non ramifiée en toute place et d'extension non ramifiée en-dehors de la place $\infty$.

Là où je te rejoins, c'est que si $r_1 = 0$, alors ces deux notions coïncident. Mais si $r_1 \geqslant 1$, la seconde notion est plus faible : il suffit que le discriminant relatif de $L/K$ soit égal à $\mathcal{O}_K$.

L'extension ci-dessus est non ramifiée en-dehors de $\infty$, mais n'est pas non ramifiée en toute place.

Ce distingo subtil n'existait pas sous Hilbert, semble-t-il, qui cherchait s'il existait des extensions abéliennes non ramifiées de $\mathbb{Q}$ autre que $\mathbb{Q}$ lui-même, ce qui a conduit à la fameuse notion du corps de classes d'Hilbert. Mais le sens de "non ramifiées" de l'époque était uniquement concentré sur les places finies.