Idéal $[4,1+\sqrt{-m}]$ dans un ordre

Bonsoir
j'ai $m=-2\bmod8$ et on travaille dans $\Bbb{Q}[\sqrt{-m}]$.
On considère les ordres ${\cal O}'=[1,4\sqrt{-m}]\subset[1,\sqrt{-m}]={\cal O}$.
L'idéal $[4,1+\sqrt{-m}]$ est un idéal fractionnaire propre de ${\cal O}'$ qui s'écrit $4[1,\frac{1+\sqrt{-m}}4]$ ce dernier étant propre dans $\cal O'$.
Jusque là ça va !

Maintenant je lis un texte où l'on m'affirme que cet idéal est dans le noyau de l'application naturelle entre les groupes de classes d'idéaux propres modulo les principaux $C({\cal O}')\rightarrow C({\cal O})$ et là je ne comprends plus !

D'abord je ne vois pas cette application "naturelle" car par définition les éléments d'une classe de $C({\cal O}')$ sont des idéaux propres de $C({\cal O}')$ à constante près or un tel idéal n'est justement pas propre pour $C({\cal O})$ et n'a donc pas de classe dans $C({\cal O})$ puisque par définition seul la multiplication par des éléments de $C({\cal O}')$ reste dans l'idéal.

Mais même en admettant que $[4,1+\sqrt{-m}]$ (qui est quand même un idéal de $C({\cal O})$) puisse être transformé en un idéal propre de $C({\cal O})$, je ne vois pas comment il pourrait être une classe triviale c'est-à-dire devenir principal dans $C({\cal O})$.

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?