Bijection et fonction arithmétique

Bonjour

Personnellement, je ne vois pas la différence entre les deux formulations. Y a-t-il vraiment quelque chose à prouver ? (On retrouve une sorte de différence entre 0.4 et 2/5 ;-) )

OShine, il faut voir que les couples $(d_1,d_2)$ tels que $d_1d_2 = n$ sont exactement les couples $(d,n/d)$ où $d$ divise $n$. Si ce n’est pas évident pour toi, procède par double inclusion.

Si la multiplication te perturbe, tu peux aussi commencer par le faire avec l'addition (qu'on rencontre beaucoup plus fréquemment). Et d'ailleurs si tu as déjà multiplié deux polynômes entre eux, ou écrit la formule du binôme, etc, on peut s'étonner que tu n'aies pas déjà fait ce raisonnement...

Les ensembles $\{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} \mid i+j=n\}$ et $\{i\in\mathbb{N}\mid 0\leq i\leq n\}$ sont en bijection (même type de raisonnement qu'on t'a donné: une paire d'entiers non négatifs $(i, j)$ de somme $n$ est déterminée de manière non ambigue par son premier élément, l'autre étant nécessairement $n-i$).
Exemple vraiment très standard (formule du binôme):
$$
(x+y)^n = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^iy^{n-i} = \sum_{i+j=n}\binom{n}{i}x^iy^{j}
$$
Plus généralement, pour deux fonctions $f,g:\mathbb{N}\to ?$, on peut écrire indifféremment:
$$
\sum_{i=0}^nf(i)g(n-i) = \sum_{i+j=n} f(i)g(j)
$$
Si tu es à l'aise avec l'addition, transposer à la multiplication devrait être assez évident.

Est-ce que tu comprends ou tiens compte des remarques?

$\varphi$ c'est l'application dont on veut montrer qu'elle est bijective. Alors ne dis pas "posons \varphi^{-1}" avant

d'avoir démontrer qu'elle est bijective.

OShine a écrit:

C'est la somme des images de $f$ et il y en a $n$ donc ça ne dépend pas du choix de la bijection. Je ne peux pas faire mieux.

J'achète pas.

On est dans un groupe. Je ne sais faire la somme que de deux éléments, pas la somme de "$n$ éléments". En tout cas, pas tant que tu ne me l'auras pas défini.

Tu ne comprends pas ce que tu cherches?

Je te le répète encore une fois: tu es dans un groupe abélien $G$, tu as une fonction $u: \{1, 2, \ldots, n\} \to G$, et tu veux un élément bien défini de $G$ que tu pourrais appeler $u(1) + u(2) + \cdots+ u(n)$.

Écris moi précisément ce qu'est un groupe abélien.


Tu as pris l'exemple de $(\mathbb{R}, +)$: ok, très bien, maintenant, dans $(\mathbb{R}, +)$, c'est quoi $1 + 2 + 3$? C'est $(1 + 2) + 3$? C'est $(1 + 3) + 2$? C'est $(2 + 1) + 3$?

Et $1 + 2 + 3 + 4$? C'est $((1 + 2) + 3) + 4$? C'est $1 + ((3 + 4) + 2)$? C'en est un autre?

On est dans un groupe, l'addition, c'est défini entre $2$ objets, pas 3, pas $4$, pas $n$. $2$. Pourtant, tu m'écris $1 + 2+ 3+ 4$. Comment je sais du quel tu veux parler parmi $((1 + 2) + 3) + 4$, $1 + ((3 + 4) + 2)$, etc...?

Il n'y a rien de compliqué, je te le redis encore une fois: c'est ce que tu apprends à tes 6èmes.

Et maintenant, si je ne te donne plus des entiers mais des réels arbitraires $a, b, c, d$, c'est qui $a + b + c + d$? C'est $(a + b) + (c + d)$? C'est $a + (b + c + d)$? C'est $(a + c) + (b + d)$?

Et donc?

Est-ce que maintenant tu es capable de donner une définition de "$u(1) + \cdots + u(n)$"?
Tu dis qu'on peut mettre les parenthèses où on veut par associativité, c'est vrai (et il faudrait le prouver, mais bon), et c'est effectivement le point clé. Tu vois que ce n'est pas un truc monstrueux en fait? Juste l'associativité de l'addition.

Donc tu n'as qu'à faire un choix de parenthésage pas trop bête, et l'utiliser pour ta définition. Pour donner une définition non ambiguë, il faut qu'il n'y ai pas les "$\cdots$". Tu y es presque, mais pas encore tout à fait.

Qu'est-ce que $a + b$ par rapport à $a$? Qu'est-ce $a + b + c + d$ par rapport à $a + b + c$? etc...

Une fois que tu auras une définition solide et utilisable de ce dont tu parles, tu pourras prouver, via cette définition, que la quantité "$u(x_1) + \cdots + u(x_n)$" ne dépend pas de la bijection $\{1, 2, \ldots, n\} \to E$ qu'on choisit.

Edit: C'est rigolo parce que dans un autre fil, Sato explique qu'il essaye de faire comprendre à ses 5èmes qu'une écriture comme "$7+ 2 - 5 + 3$" n'a pas de sens tant qu'on ne l'a pas définie. C'est-à-dire exactement ce qu'on est en train de faire ici.

Tu réponds au hasard?!?!?!?! Tu fais des maths aux hasard?!?!?! Quand tes élèves te posent une question, si tu ne sais pas, tu réponds au hasard???????

$\sum\limits_{i = 1}^n u(x_i)$ c'est ce que je te demande de définir. Ce symbole, il a un sens dans ta tête ou bien tu l'écris juste comme un truc sur ta feuille sans même te demander ce qu'il signifie?

La QUESTION que je te pose, et que je te pose encore une fois:

Tu as $G$ un groupe abélien. $u: \{1, 2, \cdots, n\} \to G$ une fonction. Je te demande de me DÉFINIR PROPREMENT l'objet de $G$ "$u(1) + \cdots + u(n)$". Pourquoi? Parce que l'addition c'est entre DEUX objets et là ce truc est une addition entre $n$ objets. Tu l'écris comment ce $u(1) + \cdots + u(n)$ en utilisant uniquement des additions entre DEUX objets? Dans un groupe, c'est tout ce que tu peux faire A PRIORI. Des additions de DEUX objets. Je te demande comment tu définis l'addition de $n$ truc à coup d'additions entre DEUX trucs.

La réponse va forcément dépendre de $n$, tu connais beaucoup de procédés qui te permettent de construire des choses qui dépendent d'un paramètre $n$ entier?



Edit: Lis le message de Dom dans le même fil, il explique la même chose que je suis en train de te dire.

Rappel: encore une fois, pour comprendre pourquoi je t'embête: tu veux une définition de $\sum\limits_{x \in E}u(x)$. Tu as dit qu'une définition de cela est $u(x_1) + \cdots + u(x_n)$ quand tu poses $E = \{x_1, \ldots, x_n\}$, mais cette définition a le problème de dépendre de la bijection que tu choisis entre $E$ et $\{x_1,\ldots, x_n\}$. Donc on essaye de montrer que ça ne dépend pas de la bijection. Pour le montrer, tu bloques, parce tu ne sais pas manipuler l'expression $u(x_1) + \cdots + u(x_n)$ car tu n'en as pas de définition. Donc tu essayes d'en donner une définition qui va te permettre de la manipuler de sorte à pouvoir prouver la propriété que tu cherches. On en est là. Tu comprends au moins le raisonnement qui mène à se poser la question que je te pose? Oui ou non?

Ce que tu montres là, c'est que tu manipules des "symbole de somme" sans savoir ce qu'ils veulent dire, et du coup quand tu veux faire un changement de variable tout bête, tu n'y arrives pas.

En maths, la règle générale: quand on veut montrer un truc, si on ne sait pas, on revient aux définitions. Tu veux montrer un truc sur les sommes: $\sum\limits_{x \in E}u(x) = \sum\limits_{y \in F}u(f^{-1}(y))$. Comment tu le montres? Ben tu reviens aux définitions. Et là, tu te rends compte que tu n'es même pas au clair avec la définition de $\sum\limits_{x \in E}u(x)$. Si tu étais au clair avec ça, tu m'aurais donné une définition correcte depuis belle lurette et on ne serait plus en train d'en parler.

C'est sûr que si tu manipules des trucs sans savoir ce que tu fais, tu n'arriveras à rien.

Je te refais l'histoire de la dépendance en la bijection: TU as dit "$E$ est fini, je pose $E = \{x_1,\ldots, x_n\}$, alors je définis $\sum\limits_{x \in E}u(x) = u(x_1) + \cdots + u(x_n)$". Tu ne l'as pas dit exactement en ces termes, mais c'est bien ce que tu as dit quand tu as dit que tu ne justifiais pas cette égalité, car tu la prenais presque comme une définition.

Ce que j'essaye de te dire, c'est que cette définition est plus piège que ce que tu crois et je veux te faire aller au bout des choses, pour que tu comprennes vraiment, en profondeur, pour pouvoir montrer la formule de changement de variable dont je te parle.

Ce que je te dis, c'est qu'en réalité, quand tu dis "Je pose $E = \{x_1, \ldots, x_n\}$". Tu introduis un nouvel objet mathématique, que tu appelles $x$. D'accord avec ça, oui ou non? Quel est le type de $x$? C'est-à-dire, quel genre d'objet EST $x$? Je ne parle pas de $x_1$ ou de $x_2$, mais bien de $x$. C'est une fonction. Une fonction qui va de $\{1, 2, \cdots, n\}$ dans $E$. Tu as $x_1$ qui est sa valeur en $1$. $x_2$ qui est sa valeur en $2$, etc...

Quand tu "poses $E = \{x_1, \ldots, x_n\}$", tu rajoutes sur le tapis cet objet $x$, qui est une fonction, et quand tu écris l'égalité $E = \{x_1,\ldots, x_n\}$, tu affirmes que l'ensemble $\{x_1, \ldots, x_n\}$ a les mêmes éléments de $E$. Que tu écris chaque élément de $E$ comme un $x_k$ pour un unique $k$ (d'ailleurs, il faut préciser que $n$ est le cardinal de $E$, sinon, c'est encore plus mal défini). En bref, quand tu écris cette égalité, tu affirmes que l'objet $x$ que tu as introduit est une bijection. D'accord ou pas d'accord?

Le problème, c'est que maintenant, dans TA définition (j'insiste: c'est TOI qui a voulu définir la somme comme ça) de $\sum\limits_{x \in E}u(x)$, il y a un CHOIX, le choix de $x$. Si je prends une autre bijection $y {1,2, \cdots, n\} \to E$, c'est-à-dire si je pose $E = \{y_1 + \cdots + y_n\}$, $u(x_1) + \cdots + u(x_n)$ sera égal à $u(y_1) + \cdots + u(y_n)$? Il n'y a aucune raison que $x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$ etc... Est-ce que tu vois le problème qui se pose ici?.

Ça semble évident qu'en fait, ça ne va pas dépendre de la manière d'écrire $E$, c'est-à-dire que ça ne va pas dépendre de si j'écris $E = \{x_1,\ldots, x_n\}$ ou $E = \{y_1,\ldots y_n\}$. Et puisque ça semble évident, ça devrait se prouver non?

Réponds au questions en rouge. S'il y a quelque chose que tu ne comprends pas là dedans, dit clairement quoi, et dit surtout clairement pourquoi tu ne comprends pas. C'est difficile de répondre quand ta seule réponse est "J'ai pas compris". Dis ce qui a fait buguer ton cerveau pour qu'il ne comprenne pas.
Et relis au moins deux ou trois fois avant de répondre "j'ai pas compris".

Oui Siméon, c'est effectivement ce que je voudrais lui faire prouver. Mais peut-être sans le dire de manière aussi explicite car je pense que s'il voit le symbole $\mathfrak{S}_n$ il va se fixer dessus et oublier d'où viennent les choses et comment on en vient "naturellement" (je met entre guillemet car les posts montrent que c'est pas si naturel pour lui) à comprendre que c'est ce qu'il faut prouver. Et en planquant le côté "permutations", et sans utiliser de résultat trop explicite sur elles. Bref, refaire les choses à la main quoi.

Mais bon, là, on en est déjà à savoir ce qu'est $\sum\limits_{i=1}^n u(i)$.

Ok Chat-maths ! Je t'avoue que je trouve ça dur et long à formaliser rigoureusement, donc je vous souhaite beaucoup de courage à tous les deux. À mon avis il lui faudra au mieux des semaines pour en venir à bout...

Ok voilà on progresse. C'est déjà ça. Tu comprends l'idée, c'est-à-dire que peu importe comment on écrit les choses, on va tomber sur la même somme, mais maintenant il faut produire une preuve rigoureuse.

Quand tu dis "l'expliquer en utilisant les groupes etc je n'ai pas compris". Tu peux me dire exactement ce qui te bloque? C'est parce qu'il y a le mot "groupe abélien"? oui ou non?

Un groupe abélien c'est juste un objet ou on a abstrait la notion d'addition commutative. Si vraiment ça te bloque trop, fait comme dit Siméon et pense que $u$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$, mais je trouve dommage que tu te bloques sur le mot "groupe abélien" sans comprendre qu'un groupe abélien c'est "un truc où on peut additionner".

Vu qu'on veut prouver un truc qui ne porte que sur "des additions", ça doit être vrai dans TOUT groupe abélien. Quand tu entends "groupe abélien" faut que tu penses au fond de toi que c'est juste faire des additions. Pas un truc compliqué quoi.



Ensuite $E$ peut-être plus grand que $\{x_1,\ldots, x_n\}$, ça ok, mais par contre, il faut vraiment que $n$ soit le cardinal de $E$.

Je reprends ton exemple $E = \{1, 2, 3\}$, ben si je prends $n = 4$ et que je pose $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$ et $x_4 = 3$, alors j'ai bien $\{x_1, x_2, x_3, x_4\} = E$ en tant qu'ensemble vu que $3$ est répété, pourtant $x_1 + \cdots + x_n = x_1 + x_2 + \cdots+ x_4 = 1 + 2+ 3+ 3$. tu vois le problème si $n$ n'est pas le cardinal de $E$?


Bref. Tu as parlé de permutations, ça avance, mais encore et toujours, tu ne m'as pas répondu: $+$, c'est entre $2$ éléments, pas entre $n$ éléments. Tu fais comment pour passer d'une définition de somme entre deux éléments et d'une somme entre trois éléments?

Tu es d'accord pour dire que $u(1) + u(2) + \cdots + u(n)$ devrait s'exprimer en fonction de $u(1) + \cdots u(n-1)$ et de $u(n)$? ça s'appelle comment une définition ou on définit un truc en fonction d'un truc défini précédemment. Quelle genre de définition peux-tu donner de $u(1) + \cdots + u(n)$ du coup?

EDIT: toujours sur les groupes:

Quand je te dis "Soit $G$ un groupe abélien", je te tends un ensemble, et un machin que j'appelle $+$ et qui te dit comment additionner deux trucs. C'est rien de plus. Ce n'est pas un objet mystérieux ou autre.

C'est juste, "je te dis qu'on sait additionner, et que cette addition respecte les mêmes lois que celles que tu as apprise au collège: commutativité, associativité". Quand on te demande de prouver des choses dans des cadres comme ça, c'est souvent une bonne indication que ça ne va pas utiliser grand chose: en te disant qu'on fait ça dans un groupe abélien, je te dis que la preuve n'utilisera rien d'autre que ces deux propriétés élémentaires de l'addition, et donc qu'il ne faut pas chercher de trucs qui utilisent "plus de données" que ces deux propriétés. Par exemple, si ta preuve utilise des limites ou autre, il faut sérieusement de poser des questions.

Plus un truc est général, moins tu as d'ingrédients, et plus il est "simple" de voir quel ingrédients utiliser, car tu as pas un milliard de choix.

Je te donne encore un exemple pour que tu comprennes. Si j'ai envie d'omelettes, que je te met chez-moi et que je te laisser juste mon frigo avec 6 oeuf dedans et rien d'autre, et que je te dis que j'ai faim, j'aurais plus de chance d'avoir l'omelette dont j'ai envie que si je t'avais filé un frigo plein à craquer de toutes sortes de trucs.

Considère que tes hypothèses c'est ton frigo: moins tu en as dans le frigo, moins tu as de choix pour cuisiner des trucs, mais plus ça sera clair de trouver quoi cuisiner.

Ben voilà. tu as enfin dit le mot magique: récurrence.

Ton $u(1) + \cdots + u(n) = \mathrm{Card}(E)$, je comprends pas? $u$ c'est une fonction arbitraire à valeur dans $G$, il n'y a pas de raison que $u(1) = 1$ et $u(2) = 1$ etc...

Bref. Est-ce que tu valides cette définition? ($e_G$ est le neutre de $G$).

Définition (Oshine): Soit $G$ un groupe abélien et $n$ un entier naturel. Soit $u : \{1, 2, \cdots, n\} \to G$ une fonction. On définit un élément de $G$ noté $u(1) + \cdots + u(n)$ par récurrence en posant. $u(1) + \cdots + u(n) = e_G$ si $n = 0$, et $u(1) + \cdots + u(n+1) := (u(1) + \cdots + u(n)) + u(n+1)$.

Si tu valides cette définition, alors tu peux maintenant passer à la preuve de la proposition 1.
Une définition "avec des trois petits points", avec des sommes à $n$ éléments quand on ne sait à priori en additionner que $2$, c'est ambigu, une définition par récurrence, c'est précis, et assez solide pour pouvoir prouver des choses.

Proposition 1 Soit $E$ un ensemble fini. Soit $n := \mathrm{Card}(E)$. Soit $u : E \to G$ une fonction. Soient $x : \{1, 2, \cdots, n\}\to E$ et $y: \{1, 2, \cdots, n\} \to E$ deux bijections. Alors $u(x(1)) + \cdots + u(x(n)) = u(y(n)) + \cdots + u(y(n))$.



Quand on a une fonction $f: \{1, 2, \cdots, n\} \to G$, est-ce que tu es d'accord pour poser la convention suivante: plutôt que de noter $f(1) + \cdots + f(n)$, on note cette quantité $\sum\limits_{i=1}^n f(i)$. Attention: Si on pose cette convention, c'est juste une convention, c'est pas parce qu'on note avec un symbole somme qu'on va avoir le droit au changement d'indices pour l'instant et autre, puisque c'est ce qu'on veut prouver.

Si on prend cette convention, la seule chose qu'on aura le droite d'écrire, c'est $\sum\limits_{i=1}^n f(i) = \left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}f(i)\right)+ f(n)$ et c'est vraiment la seule chose qu'on pourra écrire pour l'instant, car c'est la relation de récurrence qui définit cet objet.
D'accord pour la convention? Ou bien tu préfères rester avec $f(1) + \cdots + f(n)$ pour ne pas t'embrouiller?

La récurrence est une bonne idée: quand on a une preuve qui porte sur un objet défini par récurrence, une preuve par récurrence a de bonnes chances de marcher.


Reprends ton exemple avec $E = \{1, 2, 3\}$.
Dans cet exemple, on avait pas précisé $u$, mais tu semblais sous-entendre que $u(1) = 1$, $u(2) = 2$ et $u(3) = 3$.
Donc ici, $G = \mathbb{Z}$ et $u : \{1, 2, 3\} \to \mathbb{Z}$, avec $u(1) = 1$, $u(2) = 2$, $u(3) = 3$.

Tu avais pris d'abord $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$. Puis $y_1 = 2$, $y_2 = 3$, $y_3 = 1$. Donc $x_3 \neq y_3$

Donc $u(x_3) = u(3) = 3$ et $u(y_3) = u(1) = 1$. Donc $u(x_3) \neq u(y_3)$.

Du coup, est-ce que ça te parait raisonnable de tenter de démontrer que $x(n+1) = y(n+1)$ ou que $u(x(n+1)) = u(y(n+1))$?

Reprends toujours cet exemple.
Quelles est la série d'opérations que tu dois faire pour transformer l'expression $(1 + 2) + 3$ en $(2 + 3) + 1$? (j'ai édité ici: j'avais écrit $(1 + 3) + 1$)

Je te rappelle que dans ce contexte, ton frigo est presque vide: tu veux une preuve qui marche dans les groupes abéliens, tu ne dois donc rien utiliser de plus que les quelques égalités qui sont dans la définition d'un groupe abélien. Je te les rappelle:

• $\forall a \in G,\, a + e_G = a$ et $\forall a \in G,\, e_G + a = a$.
• $\forall (a, b, c) \in G^3,\, (a + b) + c = a + (b + c)$
• $\forall a \in G,\, \exists b \in G,\, (b + a = e_G)\ \textrm{et}\ (a+b = e_G)$, et on note $-a$ un tel $b$, il est unique.
• $\forall (a, b) \in G,\, a + b = b + a$

Ces quatres formules sont les règles du jeu: c'est tout ce que tu as le droit d'utiliser. Peut-être que tu n'auras pas à toutes les utiliser.

Ensuite, toujours avec ces quatres formules, tu prouveras que $1 + 2 + 3 + 4$ (je te rappelle que c'est $((1+ 2) + 3)+ 4$ par définition) est égal à $3 + 1 + 4 +2$

Aussi: pour qu'on soit d'accords, tu peux m'écrire exactement l’hypothèse de récurrence, avec chaque objet qui apparait dedans bien quantifié?

@Plm: je ne trolle pas Oshine.

Ce n'est pas la première fois qu'il pose des questions de ce genre avec des histoires comme ça. Et ça n'est pas la première fois qu'il n'arrive pas a faire des changements de variable simple dans des sommes, etc. Je me souviens d'une fois où il n'arrivait pas à voir pourquoi $\sum\limits_{k=0}^n u_k = \sum\limits_{k = 0}^nu_{n-k}$. C'est le même problème sous-jacent.
Je pense sincèrement que c'est parce qu'il ne maitrise pas l'objet qu'il manipule.

OShine a un problème avec le "langage mathématique". Il a visiblement du mal à faire le lien entre ce qui est écrit en langage math, et ce que ces choses signifient. Je ne suis pas le premier à le dire: cc avait fait un long post pour aider Oshine à travailler sur "la logique des maths". Je t'invite à lire un peu des sujets et messages d'Oshine pour le cerner.

J'essaye donc de l'aider: en lui faisant faire ce qu'il ne fait pas assez: aller au fond des choses: creuser, prendre un truc, se demander, "pourquoi?" Puis se demander encore une fois "pourquoi"? OShine fait des exos à la pelle, mais ne médite pas assez sur les exos, ne "creuse" pas assez après un exo. Toi, tu veux lui filer la réponse de l'exo et c'est tout. Mais ça ne va pas le faire progresser, et dans 3 jours on aura une question du même genre.

Je pense sincèrement que lui faire voir un peu ce qu'il y a "en profondeur" derrière un changement d'indice dans une somme lui permettrait de mieux en faire. Après le point de vue théorique, je comptais lui filer une bonne floppée de changement d'indices à effectuer, pour qu'il s'entraine.

Quoi que tu en dises: la première somme de son premier message est indexée sur l'ensemble des $\{d \in \mathbb{N},\, d | n\}$, qui est un sous-ensemble de $\mathbb{N}$, et la deuxième sur des couples, qui est un sous-ensemble de $\mathbb{N}^2$. Le passage par un changement d'indice qui utilise une bijection est obligatoire.
Ou bien on considère que sa première somme est indexée par un ensemble de couples. Ok, mais dans ce cas, le problème reste le même: il ne sait pas montrer proprement que c'est la même chose si on indexe seulement par l'entier $d$.

Edit: Dans ce fil, Oshine pose les même questions, sauf que là, il avait fait le changement d'indice. Mais ce fil montre que visiblement il l'a fait sans comprendre, parce que s'il avait compris, il l'aurait refait sans problème.

Bon, ok pour appliquer la formule à 2) et 3), mais on revient sur la preuve de la formule par récurrence après, ok? Parce que j'y tiens un peu à ce que tu écrives une preuve de la formule. Crois-moi, on est pas si loin de la fin que ça, une fois que tu auras compris ce qui est attendu, ça ne prendra pas énormément de temps. Et ca ne prendra pas "deux semaines".

Ce que je voulais que tu écrives, c'est ça: \begin{align*}
(1 + 2) + 3 &= 1 + (2 + 3) &&\textrm{par associativité}\\
&= (2 + 3) + 1 &&\textrm{par commutativité.}

\end{align*}
Pour $1 + 2 + 3 + 4 = 3 + 1 + 4 + 2$, en admettant que $1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2$ (par exemple, si dans la récurrence on a prouvé pour $n =3$) on peut faire: \begin{align*}
(1 + 2 + 3) + 4 &= (3 + 1 + 2) + 4 &&\textrm{récurrence}\\
&= ((3 + 1) + 2) +4 &&\textrm{par définition}\\
&= (3+ (1+ 2)) + 4 && \textrm{par associativité}\\
&= 3 + ((1 + 2) + 4) &&\textrm{par associativité}\\
&= 3 + (1 + (2 + 4)) &&\textrm{par associativité}\\
&= 3 + (1 + (4 +2)) &&\textrm{par commutativité}\\
&= (3 + 1 + 4) +2
\end{align*}
Où pour la dernière égalité j'ai passé sous silence les applications répétées de l'associativité.
Tu comprends le principe? Si tu as compris ça, après, ce n'est plus qu'une affaire de rédaction et rien d'autre.

Bref. Je ne veux pas te "dégouter des maths", crois-moi, mais je pense qu'expliciter ces choses par soi-même une fois dans sa vie c'est important pour comprendre.

Je reprends ton exemple 3).

$\displaystyle\sum_{d \mid n , e \mid d} f(e) g(\dfrac{d}{e}) h(\dfrac{n}{d})=\displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} f(d_1) g(d_2) h(d_3)$

Dis moi quels sont les ensembles d'indice de ces deux sommes, notamment de la première. Et dis-moi quelle est la fonction que tu prends dans ce cas. C'est-à-dire écris-moi chacune de ces sommes sous la forme $\sum\limits_{x \in E}u(x)$ en disant clairement qui est $E$, qui est $u$.

EDIT: Oh la la je m'excuse j'ai vu que j'avais fait une faute dans ce que je te demandais de démontrer dans l'exemple $1 + 2 + 3$. Je voulais te demander $1 +2 + 3 = 2 + 3 + 1$.
Est-ce que c'est clair que "montrer $1 + 2 + 3 = 2 + 3 +1$" c'est montrer la proposition dans le cas particulier $E = \{1, 2, 3\}$, $u(1) = 1$, $u(2) = 2$, $u(3) = 3$, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$ et $y_1 = 2$, $y_2 = 3$, $y_3 = 1$, c'est-à-dire dans le cas particulier de l'exemple que tu avais donné?

@OShine: Ce n'est aucunement un raisonnement "à la louche". Ce sont bien au contraire d'excellentes mathématiques.
Deux ensembles A et B sont égaux si $A\subset B$ et $B\subset A$. C'est ça, la double inclusion. Une fois que tu auras montré que les ensembles {(d;n/d)} et Cn sont égaux, la somme sera égale. Point. Il n'y a aucune évaluation "à la louche".

Ben si, prendre des exemples concrets, ça aide.

Tu reprends ce que j'ai fait avec $1 + 2 + 3 = 2 + 3 + 1$, tu remplaces "1" par $u(x(1))$, $2$ par $u(x(2))$, $3$ par $u(x(3))$ et ça marche.
Si je te fais faire ces exemples c'est pour que tu vois leur point commun et pour que tu sois capable d'écrire une preuve générale.

Si tu as prouvé au rang $n$, et que tu veux prouver $\sum\limits_{k = 1}^n u(x(k)) + u(x(n+1)) = \sum\limits_{k = 1}^n u(y(k)) + u(y(n+1))$, si $x(n+1) = y(n+1)$ c'est l'hypothèse de récurrence, sinon, tu te ramènes à ce cas: tu fais des échanges dans $\sum\limits_{k = 1}^n u(y(k))$ pour supposer que $y(n) = x(n+1)$ (tu as le droit par récurrence: ton hypothèse de récurrence c'est précisément que tu as le droit de faire ce genre de chose si ta somme a $n$ élément). Et tu peux donc supposer que tu as $\sum\limits_{k = 1}^n u(y(k)) = \sum\limits_{k = 1}^{n-1} u(y(k)) + x(n+1)$. Donc \begin{align*}
\sum\limits_{k = 1}^{n-1} u(y(k)) + u(y(n)) + u(y(n+1)) &= \sum\limits_{k = 1}^{n-1} u(y(k)) + u(x(n+1)) + u(y(n+1)) \\
&= \sum\limits_{k = 1}^{n-1} u(y(k)) + u(y(n+1)) + u(x(n+1))
\end{align*} Puis tu changes le nom des choses, tu pose $y'$ tel que $y'(k) = y(k)$ si $k \leq n$, $y'(n) = y(n+1)$, $y'(n+1) = x(n+1)$.\\
Et du coup par définition, la dernière somme c'est $\sum\limits_{k = 1}^{n} u(y'(k)) + u(y'(n+1))$ où $u(y'(n+1)) = u(x(n+1))$ donc tu es dans le cas où tu peux conclure par récurrence.


BREF.

Tu veux appliquer la formule $\sum\limits_{x \in E}u(x) = \sum\limits_{y \in F}u(f^{-1}(y))$ pour montrer l'égalité $\displaystyle\sum_{d \mid n , e \mid d} f(e) g(\dfrac{d}{e}) h(\dfrac{n}{d})=\displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} f(d_1) g(d_2) h(d_3)$.

Tu cherches donc $\phi: \{(d, e) \in (\mathbb{N}^*)^2\, d | n,\, e | n\} \to C_n' = \{(d_1, d_2, d_3)\, d_1d_2d_3 = n\}$.\\

Regarde tes deux expressions: Dans la première somme: qui est l'argument de $f$? C'est $e$. Dans la deuxième, qui est l'argument de $f$? C'est $d_1$. Donc tu peux te dire que ton $\phi(d, e)$ va être de la forme $(e, ?, ?)$.
Ensuite, qui est dans l'argument de $g$? C'est $\frac{d}{e}$. Qui est dans l'argument de $g$ de la deuxième forme? C'est $d_2$. Donc ça parait raisonnable de se dire qu'on va avoir $\phi(d, e) = (e, \frac{d}{e}, ?)$. Reste à trouver le troisième. Tu y arrives?

Quand tu cherches des bijections comme ça pour prouver des égalités entre sommes: tu compares les expressions tu te demandes "qu'est-ce que je dois poser pour passer de l'une à l'autre", et souvent ça suffit.