Module et groupe d'idéaux

Toujours pareil !
Je ne comprends décidément pas du tout comment on manipule ces objets.
C'est encore une question d'un exercice du Cox "prime ... x²+ny²"

$L$ est le corps de classe d'un ordre de conducteur $f$ d'un corps quadratique imaginaire $K$.
On suppose que l'idéal conducteur de $L/K$ est $\neq f{\cal O}_K$ (je ne pense pas que cela soit utile pour ma question)

On a $f{\cal O}_K={\frak p\,m}$ où $\frak m$ est divisible par l'idéal conducteur.

$I_K(f)$ est l'ensemble des idéaux fractionnaires premiers avec $f$.
$P_1({\frak m})$ est défini comme le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=1$ mod($\frak m$)
Donc si je ne me trompe pas ce sont les $\frac\alpha\beta{\cal O}_K$ avec $\alpha=\beta=1$ mod($\frak m$)
Ce qui n'est pas la définition que l'on rencontre aussi avec $\frac\alpha\beta=1$ mod($\frak m$)

Il faut maintenant prouver que $I_K(f)\cap P_1({\frak m})\subset P_{\Bbb Z}(f)$ ce dernier étant le groupe engendré par les idéaux principaux $\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=a$ mod($\frak m$) où $a$ est un entier premier à $f$.


Je n'ai aucune idée ! Je ne comprends pas du tout comment on manie ces objets.
J'ai dit que $\alpha/\beta=\alpha\bar\beta/N(\beta)$, $N(\beta)$ n'est pas divisible par $p$ premier en dessous de $\frak p$
et puis... et puis et puis rien ... en fait je ne vois pas
Merci pour toute indication.