Zéro commun implique mêmes fonctions L ?

Je pense que non (mais je peux me tromper car je ne connais pas bien tout ce qui touche à la classe de Selberg). Les propriétés d'induction des fonctions $L$ d'Artin font que si $M/L/K$ sont des extensions de corps de nombres, alors les fonctions $L$ relatives à l'extension $M/L$ se factorisent en produits de fonctions $L$ relatives à $M/K$, donc il peut y avoir des zéros communs de même multiplicité pour des fonctions $L$ assez différentes. Par exemple la fonction $\zeta$ de Dedekind d'un corps cyclotomique s'écrit comme produit de fonctions $L$ de Dirichlet, et il me semble que toutes ces fonctions sont dans la classe de Selberg.

Avec la primitivité ça semble plus plausible, mais je pense que c'est hors d'atteinte (ça fait partie du genre d'hypothèses avec lesquelles je dois travailler parfois).