Module et application de Artin

Je suis sous-débutant en théorie du corps de classe et je me pose des question à propos des modules et surtout de ce que viennent faire les plongements dans $\Bbb R$.
J'ai tenté de comprendre un peu la chose en me faisant la réflexion suivante.

Je réfléchis à propos d'une extension cyclotomique $\Bbb{Q}(\zeta_m)$.
Les idéaux de $I_\Bbb{Q}(m)$ s'écrivent $\frac ab\Bbb{Z}$ avec $a\wedge m=b\wedge m=1$.
On cherche (Artin) à leur associer un élément de $(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})^*$ vu comme groupe de Galois de l'extension.
On est donc presque obligé de poser $\Phi(\frac ab\Bbb Z)=(\dot{\frac ab})$ sauf qu'il y a une ambiguïté car $\Bbb{Z}=-\Bbb{Z}$.
On peut donc soit lever cette ambiguïté en convenant de prendre un générateur $\frac ab$ positif. Soit on égale les
"valeurs" en $\Bbb{Z}$ et $-\Bbb{Z}$ en passant au quotient $(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})^*/\{\pm1\}$.
Mais dans ce dernier cas il ne s'agit plus de $\Bbb{Q}(\zeta_m)$ mais d'une sous-extension de degré 2, comme $\Bbb{Q}(\zeta_m)\cap \Bbb R)$.

Dans le premier cas $\ker\Phi_m=\{(a/b)\Bbb{Z},\:a/b>0,\:a\wedge m=b\wedge m=1,\:\:a=b \mod m\}$ dans
l'autre simplement $\{(a/b)\Bbb{Z},\:a\wedge m=b\wedge m=1,\:a=b\mod m\}$.

C'est le même ensemble d'idéaux.

Dans le premier cas on obtient $P(m\infty)$ et dans l'autre $P(m)$ où pour un module ${\frak m}$, on a définit $P({\frak m})$ comme l'ensemble des idéaux principaux
$\alpha {\cal O}_K$ avec $\alpha=1\mod{\frak m}_0$ et $\sigma(\alpha)>0$ pour $\sigma|{\frak m}_\infty$.

Ce que j'en pense est-il une ineptie totale ou pas trop faux ?

Merci d'éclairer ma lanterne