Filtration des unités

Merci,

Oui je sais que $(U_i/U_{i+1}, \times )$ est isomorphe à $( k, +)$ pour $i \ge 1$, où $k$ désigne le corps résiduel. Je ne vois pas comment cela peut m'aider en fait.

Aurelpage,

Dois-je utiliser l'isomorphisme $O^\times \cong U_1\times\mu$, où $O$ désigne l'anneau de $F$, et $\mu$ l'ensemble des racines $|k|$-ième de l'unité dans $O^\times$ ?

Mais en fait je suis débile c'est mille fois plus simple que je m'imaginais.
Au passage je comprends ce que tu veux dire aurelpage et tu as raison. Quand j'écris $\phi_{i+1}(x^{p^{i+1}}) = \phi_{i+1}(1+a^{p^{i+1}}\pi^{p^{i+1}})$, on a l'impression que je considère l'application $\phi$ comme une "réduction mod $\frak m$" en me permettant de faire sauter allègrement les multiples de $p$ où bon me semble, et c'est faux.

Bon je règle le truc alors. Je note $\overline{\phi}_i : ( U_i/U_{i+1},\times ) \mapsto (k,+)$

Si $x \in U_i$, alors sa réduction mod $U_{i+1}$, que je note $\overline x$, vérifie ${\overline x}^p = 1$ (car $p\overline{\phi_i}({\overline x}) = 0 $ dans k puisque de caractéristique $p$ ). On a donc $\overline{\phi_i}( {\overline{x}}^p ) = \overline{\phi_i}( \overline{x^p}) = 0$, c'est-à-dire $x^p \in U_{i+1}$.
Ceci montre que $x \in U_i$ implique $x^p \in U_{i+1}$, puis on conclut par récurrence évidente.

Cette fois-ci c'est bien bon ?

Je reviens vers vous pour m'aider sur l'exercice dont est issu la question précédente car je galère pas mal. Je vous mets l'exo en fichiers joints.

J'en suis à la question 2)d), mais avant j'aimerais avoir votre avis sur ce que j'ai fais aux questions 2)b) et 2)c).

Pour 2)b) :

Le morphisme c'est évident. Soit $(n_i)_i$ une suite dans $\mathbb{Z}$ qui tend vers $n \in \mathbb{Z}$ pour la topologie $p$-adique.
On a donc $\mid{ n_i - n }\mid_p \mapsto 0$, et sans perte de généralité je peux même supposer que $\mid{ n_i - n }\mid_p = p^{-i}$. Notons $\phi : \mathbb{Z} \mapsto U_1 $ l'application de l'énoncé. On cherche à montrer que $\phi(n_i) \mapsto \phi(n) $ pour la topologie de $U_1$. On s'intéresse donc à la suite $\phi(n_i)\phi(n)^{-1} = \phi(n_i - n) = x^{p^i}$ et on veut montrer qu'elle tend vers $1$. Or d'après la question 2)a), $x^{p^i} \in U_{i+1}$, donc $x^{p^i} - 1 \in \frak p^{i+1}$, c'est-à-dire $\mid x^{p^i} - 1 \mid \le p^{-i-1}$. On a donc bien que $x^{p^i} \mapsto 1$, et l'application est continue.

Pour 2)c) :

Pour $n = \sum a_ip^i$ un élément de $\mathbb{Z_p}$, je note $S_i \in \mathbb{Z}$ la $i$-ème somme partielle puis on pose $x^n = \lim x^{S_i}$. Par continuité de $\phi$ pour la topologie $p$-adique sur $\mathbb{Z}$ de la question précédente, la limite est bien définie, et par construction, l'application ainsi définie est continue. C'est aussi clairement un morphisme.

Pour 2)d) :

Je sais que pour $n \in \mathbb{Z}$ fixé, l'application de $U_1$ dans lui-même, $x \mapsto x^n$ est continue. Pour un élément $ \sum a_ip^i \in \mathbb{Z_p}$ donné, j'ai donc une suite d'applications continues, $x\mapsto x^{S_i}$, où $S_i$ est la $i$-ème somme partielle. J'aimerais passer à la limite sur cette suite d'application mais je ne sais pas le justifier.


Merci

Bon deuxième essai pour la 2)b).

Soit $(n_i)_i$ une suite qui tend vers $n \in \mathbb{Z}$ pour la topologie $p$-adique. Pour montrer la continuité de l'application $ \phi $, on veut montrer que $\phi(n_i)$ tend vers $\phi(n)$, ce qui revient à montrer que $ \mid x^{n_i -n} -1 \mid_p$ tend vers $0$.
Soit $\epsilon$ strictement positif. On peut trouver $k \in \mathbb{N}$ tel que $p^{-k} < \epsilon$.
Puisque le suite $n_i$ tend vers $n$, il existe un rang $N$ à partir duquel $\mid n - n_i \mid_p < p^{-k}$. Cela signifie que si $i \ge N$, on peut écrire $n - n_i = a_ip^k$ pour un certain $a_i\in \mathbb{Z}$.
On en déduit que si $i \ge N$, on a $x^{n-n_i} - 1 = x^{a_ip^k} - 1 = (x^{a_i})^{p^k} - 1$. D'après la question 2)a) $(x^{a_i})^{p^k} \in U_{k+1}$, donc $ x^{n-n_i} - 1 \in \mathfrak{p}^{k+1}$, ce qui signifie que $\mid x^{n-n_i} - 1 \mid_p \le p^{-(k+1)} < p^{-k} < \epsilon$.
J'ai bien montré que pour tout $\epsilon$, il existe un rang à partir duquel $\mid \phi(n_i - n) - 1 \mid_p < \epsilon$.

J'espère avoir corrigé les erreurs.