Petit théorème de Fermat
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Voici une application du théorème de Fermat que je n'arrive pas à comprendre.
https://image.noelshack.com/fichiers/2018/06/2/1517931719-correction-question-4.png
Plus précisément, dans le corrigé de la question 4, je ne comprends pas comment on amène l'enfilade sous la phrase :
"Par le théorème de Fermat, on a :", les puissance de (n3)k qui sont équivalentes à n [3]...
J'aurais tendance à croire qu'on se sert de (n3)187=n561 mais comme 187 n'est pas plus premier que 561, je ne comprends pas comment on peut écrire cela ...
Merci.
Voici une application du théorème de Fermat que je n'arrive pas à comprendre.
https://image.noelshack.com/fichiers/2018/06/2/1517931719-correction-question-4.png
Plus précisément, dans le corrigé de la question 4, je ne comprends pas comment on amène l'enfilade sous la phrase :
"Par le théorème de Fermat, on a :", les puissance de (n3)k qui sont équivalentes à n [3]...
J'aurais tendance à croire qu'on se sert de (n3)187=n561 mais comme 187 n'est pas plus premier que 561, je ne comprends pas comment on peut écrire cela ...
Merci.
Réponses
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D'après le petit théorème de Fermat, on a : $n^p \equiv n \pmod p$ pour tout $n \in \mathbb Z$ et tout entier naturel premier $p$.
Il en résulte : $(n^p)^p \equiv n^p \pmod p$, et ainsi de suite.
D'où par récurrence : $n^{p^k} \equiv n \pmod p$ pour tout $k \in \mathbb N$.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Chaurien écrivait :
> ... D'où par récurrence : $n^{p^k} \equiv n \pmod p$, pour tout $k \in \mathbb N$.
Ça se prouve uniquement par récurrence c'est cela ? $k$ n'est pas spécialement premier ?
Merci pour ton aide. -
Récurrence sur $k$. Si $n^{p^k} \equiv n \pmod p$ alors $(n^{p^k})^p \equiv n^p \pmod p$, etc.
Et rends à mon génial congénère Fermat la majuscule que j'avais oubliée, pour ôter un souci à AD ;-). -
En fait c'est encore une solution balourde qui me fait penser à :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1605400,1605474#msg-1605474
Le petit théorème de Fermat admet le corollaire immédiat suivant.Quels que soient $n \in \mathbb Z$, et $k \in \mathbb N$, et $p$ entier naturel premier, on a : $n(n^{k(p-1)}-1) \equiv 0 \pmod p$.Comme $560=2^4·5·7=280(3-1)=56(11-1)=35(17-1)$, on en déduit : $n(n^{560}-1) \equiv 0 \pmod p$ pour $p=3,11,17$.
Et comme $3·11·17=561$, on en conclut : $n^{561} \equiv n \pmod {561}$.
Les nombres de Carmichael sont répertoriés dans l'OEIS <https://oeis.org/A002997>.
Ce nombre $561$ est le plus petit nombre de Carmichael. Ceci peut nous apprendre à nous méfier des conjectures hâtives, puisqu'il faut aller jusqu'à l'exposant $561$ pour infirmer la réciproque du petit théorème de Fermat.
Parmi les suivants, il y a $1729$, qui cumule les particularités, et $101101$, qui n'est pas mal non plus.
Quand j'étais jeune, on ne savait pas s'il y en avait une infinité, mais il me semble que ceci été prouvé en 1994.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[size=x-small]Je pense à vous ce soir, ô morts de février[/size] -
Un entier $n \ge 2$ est un nombre de Carmichael si et seulement si l'on a : $n=p_1p_2...p_{m}$, où $ m \ge 3$, et où $p_1, p_2, ...,p_{m}$ sont des nombres premiers impairs distincts, et $ p_{i}-1|n-1$ pour $ i=1,2,...,m$ (Théorème de Korselt, 1899).
Ce résultat peut se prouver élémentairement, niveau Math-Spé.
06/02/2018 -
Chaurien a écrit:mais il me semble que ceci été prouvé en 1994
Oui, par Alford, Granville et Pomerance [1]. Plus précisément, les auteurs montrent que, si $C(x)$ est le nombre de nombre de Carmichael $\leqslant x$, alors $C(x) > x^{2/7}$ pour $x$ suffisamment grand.
Référence.
[1] W. R. Alford, A. Granville & C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Math. 140 (1994), 703--722. -
En plus des maladresses mathématiques, vous noterez que cet énoncé appelle « théorème de Fermat » ce que tout le monde appelle « petit théorème de Fermat » et qu'il écrit le nom de Carmichael avec un tréma. Pauvres étudiants...
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