Une diophantienne
dans Arithmétique
Je l'ai résolue alors que j'étais trop jeune pour me soucier de mentionner les sources. $$
625+50(x+y)+x(x+3y)=0,\qquad\text{sur $\mathbb{Z}^2$}
$$
625+50(x+y)+x(x+3y)=0,\qquad\text{sur $\mathbb{Z}^2$}
$$
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Réponses
À suivre...
Fr. Ch.
Merci soland, dommage pour l'absence de source, moi aussi j'avais autrefois l'insouciance de la jeunesse... Ça part et ça ne revient pas comme dit le César de Pagnol.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Sauf erreur, $(25,-20)$ est une solution.
Cordialement
Paul
remarque: une voie (plus rapide?) consiste à réécrire l'équation $t^2=-y (3t-25)$ où $t:=x+25$.
Une fois écartés les cas triviaux $(t,y)=(0,0)$ et $(t,y)=(8,64)$, on dit que tout diviseur premier de $3t-25$ est un diviseur premier de $t^2$, et donc de $t$, et donc de $25$. Ainsi $3t-25$ est une puissance de $5$ ou l'opposé d'une puissance de $5$.
Avec ce mentor, le résultat est alors à portée de baguette magique.
Et l'ensemble des $t$ est $\{\frac{25+5^{2k+1}}{3}\}\cup\{\frac{25-5^{2k}}{3}\}$ où
$k\in {N}$.
$$
-9y = \frac{9(x+25)^2}{3x+50} \qquad\text{et}\qquad 9(x+25)^2-(3x+50)(3x+100) = 625=5^4
$$
Il ressort de la 1ère égalité que ${3x+50}$ divise $9(x+25)^2$, car $-9y$ est un entier,
puis de la 2e que ${3x+50}$ est l'un des 10 diviseurs de $625$.
La moitié de ces diviseurs s'éliminent avec un raisonnement$\pmod{3}$.
L'appellation « équation de Pell » est unanimement reconnue comme erronée et doit être remplacée par « équation de Fermat ». Sa théorie s'appliquerait si la réduction de l'équation proposée donnait lieu à une équation $X^2-DY^2=m$, avec $D$ « libre de carré » ( puisqu'on me critique quand j'écris « quadratfrei », qui est pourtant bien joli :-D). Mais ici c'est $X^2-Y^2=m$, d'où un nombre fini de solutions en nombres entiers.
Bonne soirée.
Fr. Ch.