Équation avec somme des diviseurs

Un petit script PARI donne immédiatement les solutions $36$, $329$, $473$, $533$, $629$ et $713$ sur l'intervalle considéré.

Par exemple :

f(n)=sigma(n)-n-55
g(x)=for(n=1,x,if(f(n)==0,print1(n,",")))

puis lancer g(3125)

Il n'y a pas d'autre solution puisque :

$\triangleright$ l'équation n'a aucune solution si $n=p$ ou $n=p^2$ avec $p$ premier ;

$\triangleright$ si $n$ est composé, alors $\sigma(n) > n + \sqrt n > n + 55$ dès que $n > 55^2 = 3025$ ;

$\triangleright$ si $n = p^\alpha$ avec $p$ premier et $\alpha \in \mathbb{Z}_{\geqslant 3}$, alors $\sigma \left( p^\alpha \right) \geqslant p^\alpha + p^{\alpha - 1} \geqslant p^\alpha + p^2 > p^\alpha + 55$ dès que $p^2 > 55$.