Répartition des nombres premiers

Foufoux
Foufoux
dans Arithmétique
Bonjour,

Je m'intéresse sur la répartition des nombres premiers.
On sait d'apres le théorème de La Vallée Poussin que le nombre de nombres premiers entre 1 et N est environ $\frac{N}{\ln(N)}$.

Donc on peut estimer qu'entre 1 et N, on a *en moyenne* un nombre tous les $\ln(N)$...

Ma question est la suivante : a-t-on des formules (empiriques, probabilistes, ...) qui permettent d'estimer un peu mieux la répartition des nombres premiers (avoir une idée de la variance) ?

Merci de vos retours,

++,
Foufoux

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    La question manque un peu de précision, mais je dirais ceci :

    1. Le logarithme intégral $\textrm{Li}(N)$ est une meilleure approximation de $\pi(N)$ que $\dfrac{N}{\log N}$.

    2. Il existe des formules exactes de $\pi(N)$, souvent fondées sur le théorème de Wilson, mais qui ne sont quasiment pas utilisée en pratique, en raison de leur inefficacité en terme de temps de calcul. Par exemple
    $$\pi(N) = \sum_{k=2}^N \left ( \left \lfloor \frac{(k-1)!+1}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{(k-1)!}{k} \right \rfloor \right).$$
    Pour faire simple, c'est joli mais ça ne sert à rien !
  • Foufoux
    Foufoux
    Merci Noix pour cette belle formule...

    Je précise ma question : dénombrer précisement les nombres premiers ne m'intéressent pas : les approximations par $Li(N)$ ou $\frac{N}{\log N}$ sont tout à fait satisfaisantes.

    Je cherche plutot à connaitre la répartition de ces nombres premiers et savoir si on connait ou on peut estimer l’écart moyen entre deux nombres premiers consécutifs.

    La première approximation consiste à dire que la répartition est uniforme, mais l'est elle vraiment ? Existe-t-il quelque chose de plus fin ?

    En espérant que ma question soit plus précise...

    Merci

    ++,
    Foufoux
  • noix de totos
    noix de totos
    Cette page https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap donne pas mal de renseignements.
  • LEG
    LEG
    si on utilise cette formule d'estimation du nombre de premiers entre $1$ et $N$, on peut admettre que la quantité de premiers entre N et 2N serra pratiquement la même, donc la répartition est à peu près uniforme...
    c'est même assez curieux que cette formule d'estimation : $\frac {N} {log N}$ est plus précise pour estimer le nombre de premiers entre N et 2N....A la différence c'est que cette estimation , peut être légèrement supérieur à la réalité, quelque fois, ce qui en fait, une estimation qui oscille entre + ou - du nombre réel de premiers, entre un entier $N$ et $2N = 30k$

    Curieusement, cela serait une conséquence, de la conjecture de Goldbach...

    Je ne sais pas si il y a des informations à ce sujet....?

    Cela s'explique avec le crible de Goldbach, pour cribler les entiers non congrus à 30k (modulo Pi) ("estimation que j'avais trouvée en faisant ce crible")

    Estimation qui est nettement supérieur au postulat de Bertrand...
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