Petit problème sur des racines de l'unité
dans Arithmétique
Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice où il faudrait que je montre la propriété suivante:
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $d|n$. Soit $\omega$ une racine primitive $d$ème de l'unité. Il s'agit de montrer que chaque racine primitive $d$ème est obtenue le même nombre de fois quand on regarde $\{\omega ^k / k \leq n , pgcd(k;n)=1 \}$.
Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance !
Je suis en train de faire un exercice où il faudrait que je montre la propriété suivante:
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $d|n$. Soit $\omega$ une racine primitive $d$ème de l'unité. Il s'agit de montrer que chaque racine primitive $d$ème est obtenue le même nombre de fois quand on regarde $\{\omega ^k / k \leq n , pgcd(k;n)=1 \}$.
Quelqu'un a une idée ?
Merci d'avance !
Réponses
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Bonjour, peux-tu vérifier si $n=6$, $d=2$ donne un résultat cohérent avec ton énoncé. En particulier, si $k=1$, il semble y avoir un problème ; faut-il l'exclure ?
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Il n'y a pas tant que ça de racines primitives deuxièmes de l'unité ! (:D
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Bonjour, avec $n=6$ et $d=2$ je trouve $d|n$ car $2|6$ et $k = 1$ ou $k=5$ car $k\leq 6$ avec $pgcd(1 ou 5, 6)=1$, mais alors avec $k=1$ on $1$ fois $1$ dans l'ensemble (ou $1$ fois $-1$), mais avec $k=5$ on a $5$ fois $1$ si $\omega = 1$ pour $k=[1,5]$ et $3$ fois si $\omega = -1$ pour $k=1$, $k=3$ et $k=5$. Mais peut-être je ne comprends pas l'éconcé. Pour moi les racines sont dans $C$.
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@YvesM : On fixe $\omega$ une racine primitive $d$-ème de l'unité, et $n$ un multiple de $d$. Demat demande si dans l'ensemble $\{ \omega^k\mid k\in (\Z/n\Z)^*\}$ dont tous les éléments sont des racines primitives $d$-èmes de l'unité, chaque racine primitive $d$-ème figure autant de fois que chaque autre.
Vu que pour $d=2$ il y a une seule racine primitive 2-ème de l'unité, la réponse dans ce cas est trivialement oui !
Analysons la situation. Le choix de $\omega$ permet d'identifier le groupe $\mu_d$ des racines $d$-èmes de l'unité à $\Z/d\Z$. L'application $\Z/n\Z\to \Z/d\Z$ définie par $k\mapsto \omega^k$ est le morphisme d'anneaux passage au quotient par $d\Z/n\Z$, et il induit un morphisme de groupes $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ ( $(\Z/d\Z)^*$ correspond à l'ensemble des racines primitives $d$-èmes de l'unité dans $\mu_d$).
Il reste à voir que le morphisme $(\Z/n\Z)^* \to (\Z/d\Z)^*$ est surjectif. Je laisse ça à la sagacité de la lectrice. -
Super, merci !
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Bonjour!
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