Équation de Schrödinger
Bonsoir à tous
Sur la page suivante, https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Schrödinger , est-ce que vous pouvez m'expliquer comment est-on passé de l'équation vectorielle de Schrödinger,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}| \Psi (t)\rangle + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle=i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$ à l'équation de Schrödinger fonctionnelle, $$ i\hbar\frac{\partial\Psi(t,\vec{r})}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\vec{\nabla}^{2}\Psi(t,\vec{r})+V(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r}) $$ en appliquant les deux formules suivantes, $$ \begin{cases} \hat{\vec{\mathbf{r}}}|\vec{r}\rangle=\vec{r}|\vec{r}\rangle \\ \Psi (t,\vec{r})\equiv\langle\vec{r}|\Psi(t)\rangle\ \end{cases} \quad ?
$$ Ce n'est malheureusement pas bien expliqué, pour moi, ça, en parcourant, les deux paragraphes : - Formulation moderne, et - Résolution de l'équation, figurant sur ce lien Wikipédia, ci dessus.
Merci d'avance.
Sur la page suivante, https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Schrödinger , est-ce que vous pouvez m'expliquer comment est-on passé de l'équation vectorielle de Schrödinger,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}| \Psi (t)\rangle + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle=i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$ à l'équation de Schrödinger fonctionnelle, $$ i\hbar\frac{\partial\Psi(t,\vec{r})}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\vec{\nabla}^{2}\Psi(t,\vec{r})+V(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r}) $$ en appliquant les deux formules suivantes, $$ \begin{cases} \hat{\vec{\mathbf{r}}}|\vec{r}\rangle=\vec{r}|\vec{r}\rangle \\ \Psi (t,\vec{r})\equiv\langle\vec{r}|\Psi(t)\rangle\ \end{cases} \quad ?
$$ Ce n'est malheureusement pas bien expliqué, pour moi, ça, en parcourant, les deux paragraphes : - Formulation moderne, et - Résolution de l'équation, figurant sur ce lien Wikipédia, ci dessus.
Merci d'avance.
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Réponses
Voir les propriétés de la transformée de Fourier et la définition de $\bf \hat{\vec p}$.
Je n'ai pas de cours entre les mains en ce moment. Je ne sais pas où en trouver un qui traite de l'analyse hilbertienne de point de vue de la mécanique quantique. Je n'arrive pas à en trouver un sur le net.
J'ai suivi un cours de mécanique quantique quant j'étais à la fac, mais ça remonte à plus de 10 ans. J'ai tout oublié. Est ce que tu peux m'écrire la réponse ici s'il te plaît ?. Je suis sûr que je ne trouverai aucune peine à la comprendre.
Merci pour ton aide.
Après une brève révision que j'ai effectuée tout à l'heure, voici où j'en suis,
On pars de l'équation vectorielle,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}| \Psi (t)\rangle + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle=i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
Par conséquent,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle= \langle\vec{r} | i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
C'est à dire,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle + \langle\vec{r} | V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr)| \Psi (t) \rangle= \langle\vec{r} | i \hbar {\partial\over \partial t} | \Psi (t) \rangle $$
C'est à dire,
$$ \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} \Psi (t , \vec{r}) + V\Bigl(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t\Bigr) \Psi (t , \vec{r} ) = i \hbar {\partial\over \partial t} \Psi (t, \vec{r}) $$
C'est à dire,
$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\vec{\nabla}^{2}\Psi(t,\vec{r})+V(t,\vec{r})\Psi(t,\vec{r}) = i\hbar\frac{\partial\Psi(t,\vec{r})}{\partial t} $$
Est ce que c'est ça ? :-)
Edit,
Croisement avec le message de SERGE_S :-)
- Quelle est cette base (orthogonale) des vecteurs propres de l'observable $\hat{r}$ dont il est question ici SERGE_S ?
- Qu'entends tu par la relation de fermeture de la base en question ?
Peux tu m'expliquer un peu plus cette phrase s'il te plaît ?
- Pourquoi les vecteurs de la base des positions ne sont pas normables ?
- Pourquoi cela signifie-t-il qu'ils n'appartiennent pas à l'espace de Hilbert ?
Merci d'avance.
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle = \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} \Psi (t , \vec{r}) $$ à l'aide du produit scalaire, de la transformée de Fourier de la fonction d'onde, et de la base des vecteurs propres de l'espace de Hilbert des fonctions d'ondes ?
Merci d'avance.
Cette relation est fausse.
Merci. :-)
Tu ne l’écris pas.
La relation correcte est :
$<r|p^2=-\not{h}^2\Delta_r<r|$
Il me semble que je comprends un peu le truc,
$$ \langle\vec{r} | \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m} | \Psi (t) \rangle = \langle\vec{r} | - \frac{\hbar^{2} }{2m} \nabla^2 | \Psi (t) \rangle = - \frac{ \hbar^{2}}{2m} \nabla^2 \langle\vec{r} | \Psi (t) \rangle = - \frac{\hbar^{2} }{2m} \nabla^2 \Psi (t , \vec{r}) $$
Ton écriture intermédiaire est fausse. Comme je suis physicien ça ne me dérange pas. Mais il est facile d’éviter d’écrire un truc faux.
Relis mon message précédent.
Bah quand même, un peu de respect pour sa propre discipline. (:P)
Remarque, si un jour il t'arrive de me reprocher d'écrire un truc faux, je pourrai la ressortir pour me défendre. X:-(
Salut Calli. ;-)