Question équation de mécanique céleste
Bonjour
Je suis en train de regarder le cours de mécanique céleste de l'isae supaero https://personnel.isae-supaero.fr/IMG/pdf/MecaCel_IS101_2011.pdf
À la section "3.3.5 Systèmes dérivants d’un potentiel", une équation permet de relier l'énergie potentielle à la dérivée seconde du rayon :
$\ddot{r} = - \mu \dfrac{r}{\|{r^3}\|}$
Sachant que la fonction $U$ correspond à $\ U(r) = - \dfrac{mu}{r}$, je n'arrive pas à voir comment déduire la formule suivante :
$$m\ddot{r} = - \frac{\partial U}{\partial r}
$$ Je sens bien que $\frac{r}{\lvert\lvert{r^3}\rvert\rvert}$ est équivalent à $\frac{1}{r^2}$ donc la dérivée de $\frac{1}{r}$... Et pourquoi une dérivée partielle ?
En vous remerciant par avance,
Thierry
Je suis en train de regarder le cours de mécanique céleste de l'isae supaero https://personnel.isae-supaero.fr/IMG/pdf/MecaCel_IS101_2011.pdf
À la section "3.3.5 Systèmes dérivants d’un potentiel", une équation permet de relier l'énergie potentielle à la dérivée seconde du rayon :
$\ddot{r} = - \mu \dfrac{r}{\|{r^3}\|}$
Sachant que la fonction $U$ correspond à $\ U(r) = - \dfrac{mu}{r}$, je n'arrive pas à voir comment déduire la formule suivante :
$$m\ddot{r} = - \frac{\partial U}{\partial r}
$$ Je sens bien que $\frac{r}{\lvert\lvert{r^3}\rvert\rvert}$ est équivalent à $\frac{1}{r^2}$ donc la dérivée de $\frac{1}{r}$... Et pourquoi une dérivée partielle ?
En vous remerciant par avance,
Thierry
Réponses
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Bonjour,
La dérivée partielle est une faute mathématiquement puisque la fonction $U$ est définie comme une fonction d’une variable. Mais en physique on ne définit pas les fonctions et on écrit des dérivées partielles partout (pour pas qu’un con ne dérive par rapport à tous les paramètres).
La dérivée de $f(x)=-1/x$ est $+1/x^2.$
Mais la force est l’opposée du gradient de l’énergie potentielle. C’est une grandeur vectorielle. En coordonnées polaires ou sphériques, $\vec{u_r}=\dfrac{\vec{r}}{ r}$, n’est-ce pas ?
Si tu préfères passe en coordonnées cartésiennes et calcule le gradient. -
Merci beaucoup, Yves, pour ces explications! C'est plus clair maintenant. Je continue...
Bonne journée,
Thierry
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