Fil enroulé autour d'une branche
Bonjour
«Un fil de masse négligeable est enroulé d'un angle $\alpha$ autour d'une branche cylindrique de rayon $R$, avec un coefficient de frottement $f$. On appelle $A$ et $B$ les extrémités de contact entre le fil et la branche ($A$ étant situé sur l'axe des $x$ horizontal). Une tension $F_A$ est appliquée en $A$ et $F_B$ en $B$ tangentes au cylindre.
Connaissant $F_A$, quelle est la force minimale à appliquer en $B$ pour que le fil soit en équilibre ?»
Tentative de résolution.
En appelant $\theta$ l'angle entre l'axe $x$ et le point courant $M$ sur le fil, $ê_r$ le vecteur radial, $ê_{\theta}$ le vecteur directement orthogonal dans le plan, $\gamma$ l'angle entre la tangente au cercle et l'axe $x$
Système : fil entre $\theta$ et $\theta + d \theta$
Référentiel : ...
Forces : poids négligeable (masse négligeable), tension à gauche $T_g$, tension a droite $T_d$, réaction du cylindre $R$ d'effort normal $N$ et d'effort tangentiel $T$.
En projection sur $ê_r,ê_{\theta}$ :
$0=-T_g \cos(\gamma (\theta)) + T_d \cos(\gamma (\theta +d\theta))+N$
$0=-T_g \sin(\gamma (\theta)) +T_d \sin(\gamma (\theta +d \theta))+T.$
Mais ensuite... des idées ?
«Un fil de masse négligeable est enroulé d'un angle $\alpha$ autour d'une branche cylindrique de rayon $R$, avec un coefficient de frottement $f$. On appelle $A$ et $B$ les extrémités de contact entre le fil et la branche ($A$ étant situé sur l'axe des $x$ horizontal). Une tension $F_A$ est appliquée en $A$ et $F_B$ en $B$ tangentes au cylindre.
Connaissant $F_A$, quelle est la force minimale à appliquer en $B$ pour que le fil soit en équilibre ?»
Tentative de résolution.
En appelant $\theta$ l'angle entre l'axe $x$ et le point courant $M$ sur le fil, $ê_r$ le vecteur radial, $ê_{\theta}$ le vecteur directement orthogonal dans le plan, $\gamma$ l'angle entre la tangente au cercle et l'axe $x$
Système : fil entre $\theta$ et $\theta + d \theta$
Référentiel : ...
Forces : poids négligeable (masse négligeable), tension à gauche $T_g$, tension a droite $T_d$, réaction du cylindre $R$ d'effort normal $N$ et d'effort tangentiel $T$.
En projection sur $ê_r,ê_{\theta}$ :
$0=-T_g \cos(\gamma (\theta)) + T_d \cos(\gamma (\theta +d\theta))+N$
$0=-T_g \sin(\gamma (\theta)) +T_d \sin(\gamma (\theta +d \theta))+T.$
Mais ensuite... des idées ?
Réponses
-
Bonjour,
J'utilise d'autres notations,
Sytème : fil dans référentiel galiléen.
A l'équilibre, la somme des forces s'annule.
La somme des forces radiale est nulle : $0=N-T_r$ avec $N$ pour réaction normale et $T_r$ tension radiale.
La somme des forces tangentielles est nulle : $0=f-T_\theta$ avec $T_\theta$ tension tangentielle.
On a donc $T_\theta = f = \mu N = \mu T_r = \mu T_\theta \sin \Delta \theta$ avec $\mu$ coefficient de frottement. Pour intégrer, on écrit $dT_\theta = \mu T_\theta \sin d \theta \sim \mu T_\theta d \theta$ et c'est fini.
Inspire toi pour finir ton calcul : tu vois que j'ai utilisé $T_r = T_\theta \sin \Delta \theta$ : une relation entre la tension radiale et la tension tangentielle. -
Bonjour,
Merci de ta réponse. Mais $f$ est bien la réaction tangentielle liée au frottement ? Par ailleurs si $T_r$ est la tension normale et $T_\theta$ la tension tangentielle ne sont-il pas sensés être orthoginaux ? Enfin qu'est-ce permet de différencier$T_\theta$ à gauche et pas à droite ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 17
+12 Invités