Décollage d'une fusée

Tamasushi
Tamasushi
dans Mathématiques et Physique
Bonjour
Je bute sur ceci.

«Une fusée éjectant un combustible avec une vitesse $u=km.s^{-1}$ (par rapport à la tuyère) est disposée verticalement. La pesanteur est considérée constante égale à $g=9,8m.s^{-2}$
Montrer que la fusée ne peut décoller que si le débit de gaz brûlés (en masse par unité
de temps) dépasse une certaine limite (dépendante de la masse, de $g$ et $u$) »

J'ai tenté un $PFD$ en dérivant le produit $\vec{p}=m\vec{v}$. Pour résoudre j'ai présumé que la masse totale valait $m(t)= m_{fusée} + m_{gaz}(t)=m_{fusée}+m_{gaz0} -Dt$ avec $D$ le débit (que j'ai donc présumé constant). J'ai trouvé une expression de la vitesse... indépendante de $u$.
Auriez-vous des méthodes de résolution (voire dans le cas plus général d'un débit non constant) ?

Réponses

  • QED
    QED
    La dérivée du vecteur P doit être égale à la somme des forces qui s'appliquent sur la fusée. Comment les as tu formulées dans ton équation?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Considère la masse de la fusée et la masse du gaz de propulsion dans un référentiel galiléen lié à la Terre.

    Ecris le moment $p=m \times v$ à l’instant $t$ puis à l’instant $t+\Delta t$... puis le théorème fondamental de la dynamique, et ne gardant que l’ordre $1$ comme toujours, ${p(t+\Delta t)-p(t)\over \Delta t}=-(m_f+m_g)g.$

    La vitesse de propulsion des gaz $u$ est mesurée par rapport à la fusée.

    Que trouves-tu ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Bonjour,

    Pour les forces j'ai simplement mis le poids $P$ en prenant en compte la variation de la masse.

    $p(t)=(m_f+m_g(t))v(t)$, $p(t+dt)=(m_f+m_g(t+dt))v(t+dt) -(m(t+dt)-m(t))(v(t)-u)$
    PFD sur $\vec{z}$ (axe verticale dirigé vers le haut): $\frac{dp(t)}{dt}=Poids$
    $-(m_f+m_g(t))g dt= p(t+dt)-p(t)= m_f(v(t+dt)-v(t)) + ((m_gv)(t+dt) - m_gv(t)) -(m(t+dt)-m(t))(v(t)-u)$
    $-(m_f+m_g(t))g= m_f \dot v +\dot{(m_gv)} -\dot{m_g}(v-u)$

    En injectant $m_g(t)=m_{g0}-Dt$, avec $D$ le débit, on trouve après résolution:
    $\dot v(t)=\frac{u}{t_0-t}-g$, avec $t_0=\frac{m_f+m_{g0}}{D}$
    (Par ailleurs $v(t)=-u ln|1-\frac{t}{t_0}|-gt$)

    $v$ est décroisante sur $[0,t_1]$ avec $t_1=t_0-\frac{u}{g}$ puis croissante jusqu'à $ t_0$
    On veut donc $t_1<0$ c'est-à-dire $ D>\frac{(m_f+m_{g0})g}{u}$

    (en réalité le débit ne dure que jusqu'à $t_{max}=m_{g0}/D <t_0$)
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Comme toujours, en physique, il est utile de retrouver ce résultat en une ligne.

    Je détaille d'abord :

    Pour que la fusée puisse décoller, il faut que la force de propulsion soit au mois égale au poids de la fusée au décollage. Par le principe de la dynamique de Newton, la force de propulsion est égale à la variation de la quantité de mouvement du gaz par rapport au temps. Pendant une durée $\displaystyle \Delta t>0$, une masse $\displaystyle \Delta m>0$ de gaz de propulsion s'échappe à la vitesse $u$ par rapport à la fusée (alors pratiquement immobile par rapport au référence terrestre). On a donc $\displaystyle {\Delta p \over \Delta t} = {\Delta m. (u-0) \over \Delta t} = D u$ avec $D$ le débit (en masse par unité de temps).

    Voici la version courte :

    Fusée + gaz dans référentiel terrestre galiléen :
    $\displaystyle (m_f+m_g(0)) g \leq {\Delta p \over \Delta t} = {\Delta m. (u-v_f(0)) \over \Delta t} \to D u, (\Delta t \to 0, t=0).$
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