Stabilité d'une orbite

Tamasushi
Tamasushi
dans Mathématiques et Physique
Bonjour,

Soit un référentiel galiléen de centre $O$, centre de masse d'un astre sphérique, de masse $M$. Cet astre est entouré d'un nuage de poussières de masse volumique $\rho$ à symétrie sphérique.
Soit une planète P de masse $m$.On prend $\vec{OP}=rê_r$ avec $r(t)=r_0 + \varepsilon(t)$ et on donne $\vec{F_{nuage\ sur\ P}}=-\frac{4}{3} \pi G \rho m r ê_r$
$\varepsilon (t)$ est-il borné ?

J'ai appliqué le $PFD$ sur la planète dans le référentiel proposé et trouve une équation:
$0=\ddot\varepsilon + \frac{K_1}{m}(r_0+\varepsilon) +\frac{K_2}{m}\frac{1}{(r_0+\varepsilon)^2} -\frac{C^2}{(r_0+\epsilon)^3}$
avec $K_1=\frac{4}{3} \pi G \rho m$, $K_2=GMm$ et $C=r^2\dot \theta$ la constante des aires

Des idées ?

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Il s'agit d'un problème à force centrale. Il existe un théorème général pour répondre à cette question. En général, on pose $u = {1 \over r}$ et on cherche une équation en coordonnées polaires de la trajectoire $r(\theta)$ et non pas $r(t).$

    Selon les conditions initiales, la trajectoire est une droite vers le centre ou qui s'éloigne du centre (la force est attractive) et donc la trajectoire est bornée (sauf si la planète vient de l'infini).
    ou
    La trajectoire tourne autour de l'astre et reste donc bornée.
    ou
    La trajectoire se libère de l'astre (après quelques rotations autour de lui ou directement en passant à proximité).

    A toi de montrer si ce dernier cas correspond à ces forces.

    Je te conseille de réviser 'trajectoire/ force centrale' pour prendre le calcul par le bon bout.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Salut,
    Je suis d'un autre avis.
    Avec les forces qui dépendent d'un potentiel, l'énergie mécanique reste constante au cours du mouvement, et tu es donc assuré que $r$ sera borné si l'énergie mécanique du système est strictement inférieure à la limite de l'énergie potentielle quand $r$ tend vers l'infini. Ici, on voit clairement que l'énergie potentielle diverge quand $r$ tend vers l'infini... Du coup ...

    Une petite remarque. Il y a un truc que je trouve détestable dans cet énoncé, l'expression de $\vec{F}_{\text{nuage}}\rightarrow P$: si ils veulent inventer une force de direction colinéaire à $\vec{e}_r$ et de norme proportionnel à $r$, ça se défend. Mais vouloir la faire coller avec une expression plausible (parmi d'autres) d'une force de gravité qui serait "compatible" avec une distribution homogène de poussière pose pas mal de questions... Alors autant se passer d'une expression aussi précise assortie d'une "explication".
  • Tamasushi
    Tamasushi
    En posant $u=1/r$, et en notant $u'=\frac{du}{d \theta}$
    $r=1/u$, $\dot r = -\frac{\dot u}{u^2}= -\frac{\dot \theta}{u^2}u'=-Cu'$ avec $C$ la constante des aires
    $\ddot r= -C\dot{\theta} u''$
    L'équation devient:
    $0=-C\dot\theta u'' +\frac{K_1}{m}\frac{1}{u} + \frac{K_2}{m}u^2 -C^2u^3$

    Mais je ne vois pas en quoi je suis plus avancé...
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonsoir,

    Tu veux calculer les orbites ou juste savoir si $r(t)$ est borné?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    La question est de savoir si $r$ est borné... mais tant qu'on y est si on peut avoir les orbites je ne dis pas non
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Re,

    À la question $r(t)$ est-il borné: calcule l'énergie potentielle en fonction de $r$ et tu auras ta réponse... En ce qui concerne les orbites, à part pour les très simples (genre: orbite circulaire), je ne suis pas persuadé qu'on pourra les exprimer simplement.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    J'ai:
    $cst=Em=\frac{1}{2}m{\dot r}^2 +\frac{1}{2}m\frac{C^2}{r^2} +\frac{1}{2} K_1 r^2 -\frac{K_2}{r}$ (en oubliant les constantes d'intégration de l'énergie potentielle)

    En dérivant par rapport à $\theta$
    $0=u'' -\frac{K_1}{mC^2}\frac{1}{u^3} +u -\frac{K_2}{mC^2}$
    Si on n'avait pas le terme $\frac{K_1}{mC^2}\frac{1}{u^3}$ on aurait la coniqie habituelle mais là...

    Par ailleurs dans l'exercice on nous propose de trouver un intervalle de valeurs de $r_0$(rappel: $r(t)=r_0 + \varepsilon (t)$) pour lequel $\varepsilon(t)$ resterait borné
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Tamasushi : Quel est le contexte de ta demande ? A quel niveau universitaire étudies-tu ? S'agit-il d'un travail à la maison à rendre ?

    C'est que je peux faire l'exo facilement mais j'ai des remords à faire le travail à ta place.

    Cherche dans Google :
    force centrale et conservatrice,
    orbite et trajectoire,
    formule de Binet,
    théorème de Bertrand.

    Tu trouveras ce que tu cherches. Y compris une résolution exacte si le coeur t'en dit.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Bonjour,

    C'est du niveau prépa. C'est juste un exercice.

    Je reprends:
    Système: planète de masse $m$
    Référentiel: ...
    PFD: sur $ê_r$ : $m( \ddot r -r {\dot \theta } ^2 )= -\frac{GMm}{r^2} - \frac{4 \pi \rho G}{3}r$
    Avec $u$: $-C^2 u^2 u'' -\frac{1}{u} C^2 u^4 = -GMu^2 -\frac{4 \pi \rho G}{3u}$
    C'est-à-dire $u'' + u= \frac{GM}{C^2} + \frac{4 \pi \rho G}{C^2 u^3}$
    Appelons $J(u)$ le second membre

    La trajectoire circulaire en $u_0$ est donnée par $ u= \frac{GM}{C^2} + \frac{4 \pi \rho G}{C^2 u^3}$
    ou encore $ P(u)=u^4 - \frac{GM}{C^2}u^3 - \frac{4 \pi \rho G}{C^2}=0$
    (Notons par ailleurd que P est décroissante jusqu'à $\frac{3GM\pi}{4C^2}$)

    On sait que $J(u_0)=u_0$ (d'après l'équation sachant que pour la trajectoire circulaire $u''=0$)

    En développant avec $Taylor$:
    $u''+u=J(u)=J(u_0) + J'(u_0)(u-u_0) +1/2 J''(u_0)(u-u_0)^2 +o((u-u_0)^2)$
    En notant $\varepsilon=u-u_0$
    $\varepsilon '' +(1-J'(u_0))\varepsilon= 1/2 J''(u_0)\varepsilon^2 +o(\varepsilon^2)$

    Solution bornée si $1-J'(u_0)>0$
    soit $1>J'(u_0)=-\frac{4 \pi \rho G}{C^2 {u_0}^4}=-\frac{4 \pi \rho G}{C^2}r_0^4$
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