Ressort pesant
Exercice que je pense être classique mais dont je n'arrive à trouver la correction (et que je n'arrive pas à résoudre...).
Soit un ressort pesant de constante de raideur $k$, de longueur à vide $l_0$, de masse
linéique $\mu$, suspendu verticalement et auquel est accroché [une] masse $m$.
Calculer l’élongation du ressort à l’équilibre.
Il faut déjà connaître la constante de raideur. Je sais déjà que pour deux ressorts on a $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}.$
Ensuite il faudrait prendre un système étant le ressort entre $x$ et $x+dx$ mais c'est là que ça coince.
Des idées s'il vous plaît ?
Soit un ressort pesant de constante de raideur $k$, de longueur à vide $l_0$, de masse
linéique $\mu$, suspendu verticalement et auquel est accroché [une] masse $m$.
Calculer l’élongation du ressort à l’équilibre.
Il faut déjà connaître la constante de raideur. Je sais déjà que pour deux ressorts on a $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}.$
Ensuite il faudrait prendre un système étant le ressort entre $x$ et $x+dx$ mais c'est là que ça coince.
Des idées s'il vous plaît ?
Réponses
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$\def\ressort{\!\vee\!\!\vee\!\!\vee\!\!\vee\!\!\vee\!}
$Bonjour,
Tu peux modéliser ton ressort par une suite de petits ressorts de masse nulle en nombre $n\gg 1$
$$
\begin{array}{ll} |\underset{\delta_1}\ressort \underset{z_1}\square \underset{\delta_2}\ressort \underset{z_2}\square \ressort \ \cdots\ \underset{\delta_n}\ressort \underset{z_n}\blacksquare\\[2mm] \overset{z}\longmapsto \end{array}
$$ chacun de raideur $k'$, de longueur à vide $\ell_0' := \ell_0/n$ et de longueur $\delta_i = z_i-z_{i-1}$ (convention $z_0=0$) ; plus des petites masses blanches $m' := \mu\, \ell_0'$ et la grosse masse noire $m$. Il faut imaginer le ressort vertical en fait, avec l'axe $z$ vers le bas, mais je ne sais pas comment tourner ma figure. Avec la formule sur les constantes de raideur que tu as écrite, tu peux trouver $k'$. Ensuite, tu appliques la deuxième loi de Newton à chaque masse, pour en déduire les $\delta_i$, puis l'élongation totale $z_n$. Un passage du discret au continu dans les calculs à un moment pourrait être le bienvenu (ça n'est pas obligé, mais ça devrait simplifier). -
[size=x-large]Rebonjour[/size],
Merci pour cette réponse. Voici mon développement:
Système: masse $i \in [\![1,n-1]\!]$
Référentiel: terrestre (galiléen)
Forces: force du ressort précédant, force du ressort suivant, poids
PFD: selon $\vec{x}$ : $m'a= -k'(\delta_i - l_0') +k(\delta_{i+1}-l_0') + m'g$
À l'équilibre $0=k'(\delta_{i+1}-\delta_i) +m'g$
En sommant jusqu'a un certain $j-1$: $\delta_j=\delta_1-\frac{m'g}{k}(j-1)=x_1-\frac{\mu l_0 g}{kn}(j-1)$
Avec un PFD sur le point entre le bâti et le ressort 1 je trouve $x_1=\frac{m'g}{k} + \frac{l_0}{n}$
Donc en injectant, en prenant j=n-1: $\delta_{n-1}= \frac{l_0}{n}-\frac{\mu l_0 g}{kn} (n-2)$ qui tend vers $-\frac{\mu l_0 g}{k} <0$ $...$ -
Bonjour,
Ne reste plus qu’à retrouver ce résultat en une ligne sans calcul. -
Yves, ce genre de message qui te donne l'air intelligent ne sert à rien si tu ne donnes pas la moindre indication. D'ailleurs, je ne vois pas encore de résultat dans le message de Tamasushi. Donc il faut encore trouver avant de retrouver.
Tamasushi, il est étrange ton PFD sur le point entre le bâti et le ressort 1. Au passage, un merci ou un bonjour ne seraient pas une politesse excessive. -
Mais de toute façon même sans ça, j'ai l'impression que mon calcul est faux et je ne vois pas comment passer au continu
-
Bonjour,
On peut résoudre ce problème de plusieurs façons.
Tu proposes d’utiliser la raideur du ressort.
Voici des indications :
Soit $k(l)$ la raideur du ressort de longueur $l.$
La loi de composition de deux ressorts en série de longueurs $l_1$ et $l_2$ donne la relation $1/k(l)=1/k(l_1)+1/k(l_2).$ Démontre cette relation.
Dérive cette relation partiellement par rapport à $l_1$, puis par rapport à $l_2$.
Montre que $dk/k^2=-dl / a$ avec $a$ une constante caractéristique du ressort. Quel est le signe de $a$ ? Sa dimension ?
Intègre la relation pour trouver la raideur $k$ selon $l$ et $a.$ -
Fait un PFD sur la dernière masse (en noir). Ça te donnera $\delta_n$, puis tous les autres $\delta_i$ avec ce que tu as trouvé.
-
Système: masse M
Référentiel terrestre (galiléen)
PFD à l'équilibre: $0=-k'(\delta_n-l'_0)+Mg$
donc $\delta_n=l_0'+\frac{Mg}{k}$
Par récurrence sur $j$: $\delta_j=l_0'+\frac{Mg}{nk} + \frac{mg}{nk}(n-j)$
Alors $x_n=x_n -x_0= \sum_{j=1}^{n}\delta_j=l_0 + \frac{Mg}{k}+ \frac{mg}{2k}\frac{n-1}{n}$
qui tend vers $l_0 +\frac{Mg}{k} + \frac{mg}{2k}$
Merci pour vos conseils -
C'est ça. Alors, en revanche, avec $M$ le $m$ de départ (la masse noire) et $m$ qui vaut $\mu \ell_0$.
-
Yves, j'ai cru comprendre que tu as une solution à cette exercice "en une ligne sans calcul". Peut-on la voir à présent ?
-
Bonjour,
Remarques-tu que l’allongement du ressort, au-delà de sa longueur hors charge, est la somme de deux allongements : l’un dû à une masse $M$ dans le champ $g$ et l’autre à une masse $m/2$, demi-masse du ressort, dans ce champ ?
Le premier est immédiat et résulte de la définition même de la raideur d’un ressort (non pesant).
Il faut donc justifier
- l’addition des deux termes,
- le second terme : pourquoi l’allongement correspond à la demi-masse du ressort ?
Une ligne bien sentie.
Indication : Quelle est la charge vue par l’extrémité haute du ressort ? Quelle est la charge vue par l’extrémité basse du ressort ? On pourra faire un graphique.
A vous de trouver. -
Ça n'est pas vraiment "en une ligne".
-
Bonjour,
On ne sait pas tant qu’on n'a pas essayé. À vous de trouver. -
Bonjour,
Soit un ressort pesant de longueur $L$, de raideur $k(L)$, de masse $m$ auquel on accroche une masse $M$ dans les champs $g.$ On cherche son allongement.
On peut considérer le ressort comme la juxtaposition de deux ressorts en série. De la relation $1/k(x+y)=1/k(x)+1/k(y)$ on déduit $k(l)=k(L) L/l.$
La loi de Hook donne un allongement $Mg/k(L)$ pour la contribution de la masse $M.$
Cette même loi donne $k(l) dx=mg dl/L$ et donc $\Delta x=mg/k(L)\int_0^L {l dl\over L^2}=(m/2)g/k(L)$ pour la contribution du poids du ressort. -
D'accord, c'est pas mal. Merci. Mais je suis psychologiquement plus rassuré par mon raisonnement avec les petits ressorts, car on a vite fait de commettre des erreurs en mécanique.
-
Bonjour,
Il faut savoir faire les deux.
Certains domaines de la physique sont hautement mathématisés. D’autres domaines ne permettent que des raisonnements qualitatifs (physico-chimie des interfaces biologiques).
Ceci dit ma démonstration en est une. Rigoureuse. Elle est fondée sur une modélisation continue. -
Oui oh, t'es pas mon prof de physique. D'ailleurs je n'en ai plus ; j'ai arrêté les cours de physique. Je compte quand même en refaire un peu, en autonomie, mais j'ai pas encore eu le temps de m'y mettre.YvesM a écrit:Il faut savoir faire les deux.
Ce qui m'empêche d'être à l'aise avec ta démonstration, c'est qu'on ne sait pas qui est $x$ (sûrement quelque chose comme l'allongement, mais précisément ?) et on ne sait pas à quel système on a appliqué le PFD pour trouver $k(l) dx=mg dl/L$. Donc rigoureuse, oui peut-être... quand on complète ce qui manque.
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Bonjour!
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