Indépendance des variables - hamiltonien

Salut,

Tout d'abord, bravo, faire un TIPE sur la mécanique analytique est une super idée, si tu veux te diriger par la suite vers une spécialisation plutôt physique ou mécanique, tu vas avoir des billes et tu auras déjà franchi "une étape psychologique".

Si tu n'as pas eu trop de problème pour t'habituer au formalisme lagrangien mais que, de là, tu as un peu de mal à passer au formalisme hamiltonien, ça peut être par une assez mauvaise maîtrise d'un certain outil venant de l'analyse. Je te conseille donc très fortement de jeter un œil à ce que signifie une "transformation de Legendre" et ses conditions d'utilisation. Sache que tu es déjà habitué à son usage par la thermodynamique, sans nécessairement savoir le nommer, mais si c'est dans ton TIPE, il faut que tu sois carré, et ça t'aidera pour ton problème (et en plus, en prépa, tu as les concepts d'analyse nécessaire à une compréhension rapide mais claire de la transformation de Legendre).

Revenons à ta question:
Ce n'est pas une hypothèse, c'est plutôt une autre façon de voir les choses, bien qu'il soit nécessaire de prendre en compte certaines contraintes avant de l'utiliser. Tu considères que ton système est entièrement déterminé par les positions et les quantités de mouvement, tu vas donc dans un premier temps les considérer comme un ensemble de variables indépendantes les unes des autres (même si tu sais qu'a posteriori "l'évolution des unes dépend des autres"), c'est en cela assez commun avec ce que tu as appris avec le lagrangien, mais il faut faire attention à une contrainte supplémentaire.

D'abord un petit exemple illustratif (je triche, en mettant la charrue avant les bœuf, mais là le but, c'est juste que tu t'habitues à l'idée):
Je prend un système simple masse-ressort (relié à un point fixe): j'ai deux variables, $x$ et $p$, ce sont mes variables, je veux écrire l'hamiltonien de mon système en fonction de mes variables (ici, l'hamiltonien n'est ni plus ni moins que l'énergie mécanique):
L'énergie mécanique, c'est la somme de deux termes:
-l'énergie potentielle, ici: $V=\frac{k}{2} x^2$
-l'énergie cinétique, ici $T=\frac{1}{2m}p^2$

Pour l'instant, je me suis complétement foutu de savoir quel peuvait bien être les relations entre $x$ et $p$, j'ai juste écris que $H$ est une fonction de deux variables $x$ et $p$, et qu'on a plus précisément: $H=\frac{k}{2} x^2+\frac{1}{2m}p^2$.
On notera qu'en formalisme hamiltonien, l'ensemble des valeurs que peuvent prendre ces valeurs indépendantes s'appelle généralement "espace des phases" (juste un peu de culture, tu risque de retrouver régulièrement cette expression).
Ici, j'ai triché, je t'annonce donc directement, $p$ est le "moment"* conjugué à $x$ et je peux écrire:
$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}$
et $\frac{dp}{dx}=-\frac{\partial H}{\partial x}$
Vérifie, ça correspond bien aux équations associés à ce type de système, sache que $p$ est ici le produit de la masse et de la vitesse.

Je suppose que tu y es déjà habitué, mais fait bien gaffe, quand on écrit des dérivées partielles, c'est "aux autres des variables choisis fixées", pour que ça marche, tu ne peux que rarement choisir des variables comme ça t'arranges, exprimer l'énergie et penser que tu auras directement ce genre d'identité sans problème.

En fait, une des principales différences entre les formalismes lagrangien et hamiltonien, c'est que le formalisme lagrangien possède une propriété bien sympatique qui permet lors de la détermination de la fonction de mettre la poussière sous le tapis: l'égalité "numérique" entre $\dot{q_i}$, une variable et $\frac{\partial q_i}{\partial t}$, la dérivée temporelle attendue d'une autre variable. Il sont égaux, certes, mais ce sont deux "objets" différents lors de la mise en place de ton formalisme.
Pour éviter de se mélanger les pinceaux, tu peux appliquer cette méthode quand tu tentes de poser un problème au formalisme hamiltonien:
- D'abord, écrire en lagrangien.
-Appliquer la transformation de Legendre et autant que possible remplacer dans l'expression du hamiltonien les expression faisant appels aux $\dot{q_i}$ par les équivalents faisant appel au $p_i$ que tu viens de formaliser.



* "moment: Dans le même sens que "momentum" chez les anglo-saxon, c'est-à-dire un truc associé à l'autre variable via des équations aux dérivées partielles faisant appel à l'hamiltonien. Ainsi ce que tu connais probablement sous le nom de "moment cinétique" est de plus en plus nommé "moment angulaire", c'est à dire "le moment associé à l'angle" (ce qui signifie que la contribution des autres variables à l'hamiltonien est "globalement indépendante" par rotation).